Homología de real proyectiva del espacio... no estoy satisfecho con el argumento de hatcher.

Question

En el ejemplo 2.42 Hatcher calcula la homología de la real proyectiva del espacio. Yo sigo a su argumento, pero me sentiría incómodo creer los detalles de la carrera de computación, si no me veo en su texto.

¿Cómo Hatcher a la conclusión de que el grado de uno de los locales homeomorphisms es 1, en oposición a -1? (Me doy cuenta de que en realidad no afectan a la homología de cálculo.)

Hay algunos topológico hecho de que le permite a la conclusión de que la restricción de un hemisferio de la composición, $S^{k-1} \to RP^{k-1} \to RP^{-1}/RP^{k-2} = S^{k-1}$ es en realidad el mapa de identidad?

Answer 1

advertencia: yo no soy de los que se siente cómodo con esta respuesta.

Creo que algo se oculta en la notación de aquí. La identificación $$ \mathbb{RP}^{k-1}/\mathbb{RP}^{k-2} = S^{k-1} $$ no es canónica, a pesar de lo sugerido por el signo igual. Para un ejemplo concreto, considere la posibilidad de $\mathbb{RP}^2/\mathbb{RP}^1$.

Si tomamos un punto en $\mathbb{RP}^2$, pensado como un par de antipodal puntos en $S^2$, y tenemos un mapa a su representante en el hemisferio sur (bien definido a menos que sea en el ecuador, que nos estamos matando a),luego del colapso de la clausura del hemisferio norte hasta un punto, se obtiene una identificación diferente de $\mathbb{RP}^2$ con la esfera, que si hacemos lo mismo con las palabras "norte" y "sur" se sustituye everwhere. Estos dos mapas se diferencian por la precomposición por el antipodal mapa. Por lo que uno debe hacer una elección arbitraria de identificación (tenga en cuenta que hasta homotopy, esto es importante sólo para la mitad de la $k$ (estoy confundido acerca de pares e impares, doblemente porque nuestro índice comienza en $k - 1$)).