Probar que: $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{1}{a+b+1}\le1 $

Question

Si $a\geq0$, $b\geq 0$ a continuación, la siguiente desigualdad se cumple:

$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{1}{a+b+1}\le1 $$

Hay al menos tres cosas a tratar aquí:

a). El uso de AM-GM para el denominador de la segunda fracción, $(a+b)\le \frac{(a+b+1)^2}{4}$

b). Utilice el hecho de que $\frac{b}{(a+b+1)^2}\le\frac{b}{(a+b+1)(a+b)}$

c). Considere la posibilidad de que $a\geq b$ o $b\geq a$ simple o combinado con una). y\o b).

Ninguno de estos intentos me ha llevado a un agradable, sencilla solución y estoy tratando de ver si hay algo que me extrañaba. Esta es una desigualdad dada en una escuela secundaria de la competencia matemática.
Agradecería recibir su valiosa retroalimentación en términos de esta pregunta. Gracias.

Answer 1

Para probar:$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{1}{a+b+1}\le1$$ Probar:$$\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{a+b+1}{(a+b+1)^2}\le\frac{1}{a+1}$$ $$\frac{a+2b+1}{(a+b+1)^2}\le\frac{1}{a+1}$$ $$\color{green}{a^2}+\color{blue}{2ab}+\color{red}{a+a+2b+1}\le\color{green}{a^2}+b^2+\color{blue}{2ab}+\color{red}{2a+2b+1}$$ $$0\le b^2$$

Answer 2

Deje $$f(a,b)=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{1}{a+b+1}.$$

Se observa que para todos los $a\geq0$, $f(a,0)=1$. Así, es suficiente para demostrar que, para cualquier fija $a\geq0$, la función de $b\mapsto f(a,b)$ está disminuyendo. Así podemos calcular su derivada $$0+\frac{1}{(a+b+1)^2}-\frac{2b}{(a+b+1)^3}-\frac{1}{(a+b+1)^2}.$$ This derivative is negative, thus the function $b\mapsto f(a,b)$ is decreasing on $[0,+\infty)$, thus we have the inequality $$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+b+1)^2}+\frac{1}{a+b+1}\leq f(a,0)=1$$ for all $un\geq0$ and $b\geq0$.

Answer 3

Alternativamente, usted puede utilizar b') $\frac{b}{(a+b+1)^2}\le\frac{b}{(a+b+1)(a+1)}$. Si se inserta, la LHS es $1$.