No estoy seguro de cómo responder a la pregunta 1 es un poco vaga. La segunda pregunta es única para $SO(6)$ y se responde entendiendo cómo $SU(4)$ es la doble cubierta de $SO(6)$ . Esta doble cobertura se construye de la siguiente manera: primero observe que $\Lambda^2 \mathbb C^4$ es de seis dimensiones y tiene un producto interno hermitiano inducido por el de $\mathbb C^4$ . Esto se puede definir diciendo que si $\{e_1,\ldots,e_4\}$ es una base ortonormal para $\mathbb C^4$ entonces $\{e_i \wedge e_j\}$ es una base ortonormal para $\Lambda^2 \mathbb C^4$ o, más invariablemente, $$ \langle v_1 \wedge v_2, w_1 \wedge w_2 \rangle = \det\langle v_i, w_j\rangle $$ donde $\langle v, w\rangle$ es el producto interior hermitiano sobre $\mathbb C^4$ . Entonces es fácil ver que la acción de $SU(4)$ en $\Lambda^2 \mathbb C^4$ preserva este producto interno, dando un homomorfismo $SU(4) \to U(\Lambda^2 \mathbb C^4) = U(6)$ . Pero también existe un producto interno simétrico en $\Lambda^2 \mathbb C^4$ $$ \Lambda^2 \mathbb C^4 \otimes \Lambda^2 \mathbb C^4 \to \Lambda^4 \mathbb C^4 \simeq \mathbb C $$ que también se conserva por la acción de $SU(4)$ ya que los elementos en $SU(4)$ tienen determinante 1. Por tanto, la imagen del homomorfismo anterior está en $U(6) \cap SO(6, \mathbb C) = SO(6)$ . Se comprueba que el núcleo de este mapa es $\{\pm 1\}$ y por tanto, por razones de dimensionalidad, debe ser una suryección. Así pues, esta es la doble cobertura $SU(4) \to SO(6)$ pero ahora es transparente que el $\Lambda^2 \mathbb C^4$ rep de $SU(4)$ corresponde a la representación vectorial de $SO(6)$ .
Su tercera pregunta es válida para todos los $SO(n)$ (de hecho para cualquier representación autodual). Dado que existe un producto interno simétrico invariante en $V = \mathbb C^n$ conservado por $SO(n)$ se deduce que la representación fundamental es autodual. Así, $V\otimes V \simeq V^* \otimes V \simeq End(V)$ . Ahora para cualquier rep $V$ de cualquier grupo, $V \otimes V$ siempre se reduce a una suma directa de simétricos más antisimétricos (esto es inmediato a partir de la definición de la representación del producto tensorial). Del mismo modo, para cualquier rep $V$ de cualquier grupo, $End(V)$ tiene una subrepresentación unidimensional abarcada por la transformación de identidad. Ahora, bajo la correspondencia de $End(V) \simeq V\otimes V$ Los tensores simétricos contendrán el endomorfismo de identidad, pero un subespacio complementario está dado por endomorfismos sin trazos.
