Así, el problema de encontrar la solución a
$$
y" + p(x) y' + q(x) y = f(x)
$$
cuando las soluciones de $y_1$ $y_2$ de la homogénea problema son "conocidos" es, en cierta forma de pensar, el siguiente:
Sé $y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ soluciona
$$
y" + p(x) y' + q(x) y = 0.
$$
Lo que si me dejo $c_1$ $c_2$ variar, con el fin de satisfacer punto por punto, la no-homogénea de la ecuación. Propongo, a continuación,$y(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$, y ver a dónde me lleva. Para eso, podemos calcular
$$
y'(x) = c_1(x) y_1'(x) + c_2(x) y_2'(x) + c_1'(x) y_1(x) + c_2'(x) y_2(x),
$$
y $y''$. Antes de hacer eso, vamos a echar un vistazo en $y'(x)$. Si nos vamos a los términos de la primera derivada de la $c_1$, e $c_2$ a subsistir, a continuación, $y''$ tendrá términos de la derivada segunda en $c_1$$c_2$, y vamos a lograr nada en términos de simplicidad. Lo que era un segundo orden de la educación a distancia con un desconocido ($y$), se convertirá en un segundo orden de la educación a distancia con dos incógnitas ( $c_1$ $c_2$ ), con la falta de la segunda ecuación. Por esta razón, en la construcción, una pregunta para el
$$
c_1'(x) y_1(x) + c_2'(x) y_2(x) = 0.
$$
Si esta condición se cumple, podemos lograr una cosa muy importante: para reducir la no homogénea de segundo orden la educación a distancia, para un sistema de dos de primer orden las ecuaciones diferenciales ordinarias, que, por cierto, sabemos cómo solucionar exaclty (módulo de integración). Esta sería una racional explicación en la elección de la condición anterior.
Ahora, de vuelta al problema en cuestión. Cuando uno tiene las condiciones iniciales, el problema se expresa de la siguiente manera:
$$
y" + p(x) y' + q(x) y = f(x), \quad y(a) = y_0, \quad y'(a) = y_0', \quad a < x < b.
$$
La forma más sencilla de resolver el problema completo es tomar ventaja de la linealidad, que se dividió en dos:
$$
y_h" + p(x) y_h' + q(x) y = 0, \quad y_h(a) = y_0, \quad y_h'(a) = y_0',
$$
y
$$
y_p" + p(x) y_p' + q(x) y = f(x), \quad y_p(a) = 0, \quad y_p'(a) = 0,
$$
y, a continuación,$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$. En otras palabras, podemos resolver la homogeneidad de la educación a distancia con los no-homogénea de las condiciones iniciales, y el no-homogénea de la educación a distancia homogénea las condiciones iniciales, el tratamiento de la no-homogeneities por separado.
La solución homogénea se
$$
y_h(x) = k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x),
$$
donde $y_1$ $y_2$ son las dos soluciones linealmente independientes, y $k_1$ $k_2$ se determinan resolviendo el sistema
$$
\begin{pmatrix} y_1(a) & y_2(a) \\ y_1'(a) & y_2'(a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_0' \end{pmatrix}.
$$
Para $y_p$, proponemos la solución
$$
y_p(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)
$$
con la condición de $c_1'(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) = 0$ (explicado anteriormente). Entonces, sustituyendo en su ODA, podemos determinar $c_1(x)$ $c_2(x)$ resolviendo el sistema
$$
\begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1'(x) \\ c_2'(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ f(x) \end{pmatrix}
$$
y, a continuación,
\begin{align}
c_1'(x) &= -\frac{y_2(x) f(x)}{W(y_1,y_1)(x)} \\
\\
c_2'(x) &= \frac{y_1(x) f(x)}{W(y_1,y_2)(x)}
\end{align}
donde $W(y_1,y_2)(x) = y_1 y_2'- y_1' y_2$ es el Wronskian de $y_1$$y_2$.
La clave aquí es que, con el fin de obtener $c_1$$c_2$, uno tiene que integrar. Para ello, necesitamos los límites de integración. Muy bien, sabemos que las condiciones iniciales para $y_p$; se puede leer como
$$
\begin{pmatrix} y_1(a) & y_2(a) \\ y_1'(a) & y_2'(a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1(a) \\ c_2(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
Esto significa que $c_1(a) = c_2(a) = 0$. Por último, la realización de la integración,
$$
\int_{a}^x c_1'(s) ds = c_1(x) = -\int_{a}^x \frac{y_2(s)}{W(s)} f(s) ds
$$
$$
\int_{a}^x c_2'(s) ds = c_2(x) = \int_{a}^x \frac{y_1(s)}{W(s)} f(s) ds
$$
y, a continuación,
$$
y_p(x) = \int_{a}^x \frac{y_1(s) y _2(x) - y_1(x)y_2(s)}{W(s)} f(s) ds
$$
o
$$
y_p(x) = \int_{a}^{b} g(x,s) f(s) ds
$$
donde
$$
g(x,s) = \begin{cases} \frac{y_1(s) y _2(x) - y_1(x)y_2(s)}{W(s)} & \mbox{if }a < s < x \\
0 & \mbox{if } x < s < b \end{casos}
$$
Finalmente
$$
y(x) = k_1(x) y_1(x) + k_2(x) y_2(x) + \int_a^b g(x,s) f(s) ds.
$$
La función de $g(x,s)$ se llama a la función de Green, y es completamente asociado con el problema
$$
L y = \frac{d^2 y}{d x^2} + p(x) \frac{d y}{d x} + q(x) y = f(x), \quad B y = \begin{pmatrix} y(a) \\ y'(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad a < x < b
$$
Las funciones de Green es una especie de "inversa" de el operador $L$ con condiciones de contorno de la $B$.
¿Qué pasa con las condiciones de contorno en $a$$b$?
Bueno, en este caso, las condiciones de frontera, $B$ son de la forma
$$
Por = \begin{pmatrix} \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) + \gamma_1 y(b) + \delta_1 y'(b) \\ \alpha_2 y(a) + \beta_2 y'(a) + \gamma_2 y(b) + \delta_2 y'(b) \end{pmatrix}
$$
y no tiene que ser homogénea, es decir,$B y = (r_1, r_2)^T$. Si las condiciones de frontera son linealmente independientes, entonces el problema está bien definido, y que tenemos que resolver
$$
L y = f(x), \quad B y = (r_1, r_2)^T, \quad a < x < b.
$$
En el caso de que $\alpha_2 = \beta_1 = \gamma_{1,2} = \delta_{1,2} = 0$ es la conocida condición inicial del problema, resuelto anteriormente. El caso de $\gamma_1 = \delta_1 = \alpha_2 = \beta_2 = 0$ se llama sin mezclar, mientras que el otro es mixto. Ejemplos de mezclado de las condiciones de contorno de Dirichlet son las condiciones de $y(a) = y(b) = 0$, Neumann condiciones de $y'(a) = y'(b)$ y Robin condiciones de $y(a) + \alpha y'(a) = y(b) + \beta y'(b) = 0$. Ejemplos de la mezcla de las condiciones de contorno son periódicas $y(a) = y(b)$, $y'(a) = y'(b)$, y antiperiodic $y(a) = -y(b)$, $y'(a) = -y'(b)$.
Como con las condiciones iniciales, la mejor manera de trabajar es dividir el problema en dos:
$$
L y_h = 0, \quad B y_h = (r_1, r_2)^T
$$
y
$$
L y_p = f(x), \quad B y_p = (0, 0)^T
$$
La solución para $y_h$ es equivalente para todos los tipos de condiciones de contorno, y voy a ignorar este problema (si tienes dudas es un buen ejercicio para trabajar los detalles por sí mismo).
Sin mezclar las condiciones de contorno
$$
B y = \begin{pmatrix} B_1 y \\ B_2 y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) \\ \gamma_2 y(b) + \delta_2 y'(b) \end{pmatrix} = 0
$$
Deje $w_1(x) = h_{11} y_1(x) + h_{22} y_2(x)$, e $w_2(x) = h_{12} y_1(x) + h_{22} y_2(x)$ $h_{ij}$ constantes, de tal manera que $B_1 w_1 = 0$$B_2 w_2 = 0$. Proponemos
$$
y_p(x) = c_1(x) w_1(x) + c_2(x) w_2(x)
$$
con el (muy natural) condición de $c_1'(x) w_1(x) + c_2'(x) w_2(x) = 0$. Como en el problema de las condiciones iniciales, es fácil ver que
\begin{align}
c_1'(x) &= -\frac{w_2(x) f(x)}{W(w_1,w_2)(x)}\\
\\
c_2'(x) &= \frac{w_1(x) f(x)}{W(w_1,w_2)(x)}
\end{align}
donde $W(w_1,w_2)(x) = W(x)$ es el Wronskian de $w_1$$w_2$. Para determinar los límites de integración, simplemente evaluar el límite condiciones:
\begin{align}
B_1 y_p &= c_1(a) B_1 w_1 + c_2(a) B_1 w_2 = c_2(a) B_1 w_2 = 0\\
B_2 y_p &= c_1(b) B_2 w_1 + c_2(b) B_2 w_2 = c_1(b) B_2 w_1 = 0
\end{align}
Esta relación nos dice que $c_1$ $c_2$ necesidad de cumplir con las condiciones de $c_2(a) = c_1(b) = 0$, con el fin de satisfacer las condiciones de frontera. Entonces
$$
\int_x^b c_1'(s) ds = - c_1(x) = \int_x^b \frac{w_2(s)}{W(s)}f(s) ds
$$
y
$$
\int_a^x c_2(s) ds = c_2(x) = \int_a^x \frac{w_1(s)}{W(s)}f(s) ds
$$
Finalmente
$$
y_p(x) = \int_x^b \frac{w_1(x)w_2(s)}{W(s)} f(s) ds + \int_a^x \frac{w_2(x) w_1(s)}{W(s)} f(s) ds
$$
o
$$
y_p(s) = \int_a^b g(x,s) f(s) ds
$$
donde
$$
g(x,s) = \begin{cases} \frac{w_1(s) w_2(x)}{W(s)} & \mbox{if } a < s < x < b\\
\\
\frac{w_1(x) w_2(s)}{W(s)} & \mbox{if } a < x < s < b\end{casos}
$$
Las condiciones de contorno mixtas
La forma más sencilla sería la de utilizar el resultado anterior. Vamos
$$
y_1(x) = c_{11}(x) w_{11}(x) + c_{12}(x) w_{12}(x)
$$
y
$$
y_2(x) = c_{21}(x) w_{21}(x) + c_{22}(x) w_{22}(x)
$$
donde $w_{11}$, $w_{12}$, $w_{21}$, $w_{22}$, son elegidos con el fin de cumplir
$$
B_1 y_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1 y_1(a) + \beta_1 y_1'(a) \\ \gamma_2 y_1(b) + \delta_2 y_1'(b)\end{pmatrix} = 0
$$
y
$$
B_2 y_2 = \begin{pmatrix} \gamma_1 y_2(b) + \delta_1 y_2'(b) \\ \alpha_2 y_2(a) + \beta_2 y_2'(a)\end{pmatrix} = 0
$$
Por construcción, vamos a
\begin{align}
y_1(x) &= \frac{1}{2}\int_a^b g_1(x,s) f(s) ds\\
\\
y_2(x) &= \frac{1}{2}\int_a^b g_2(x,s) f(s) ds
\end{align}
donde
\begin{align}
g_1(x,s) &= \begin{cases} \frac{w_{11}(s) w_{12}(x)}{W(s)} & \mbox{if } a < s < x < b\\
\\
\frac{w_{11}(x) w_{12}(s)}{W(s)} & \mbox{if } a < x < s < b\end{casos}
\\ \\
g_2(x,s) y= \begin{cases} \frac{w_{21}(s) w_{22}(x)}{W(s)} & \mbox{if } a < s < x < b\\
\\
\frac{w_{21}(x) w_{22}(s)}{W(s)} & \mbox{if } a < x < s < b\end{casos}
\end{align}
Luego, tomando a $y(x) = y_h(x) + y_1(x) + y_2(x)$ donde $y_h(x) = k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x)$, tenemos
$$
L y = L y_h + L y_1 + L y_2 = L y_1 + L y_2 = \frac{1}{2}f(x) + \frac{1}{2}f(x) = f(x)
$$
y
\begin{align}
B y &= B y_h + B y_1 + B y_2 \\
&= B y_h + B_1 y_1 + B_1 y_2 + B_2 y_1 + B_2 y_2 \\
&= B y_h + B_2 y_1 + B_1 y_2 = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}
\end{align}
Si elegimos $k_1$$k_2$, de tal manera que
$$
B y_h = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} - B_2 y_1 - B_1 y_2
$$
entonces
$$
y(x) = y_h(x) + y_1(x) + y_2(x) = y_h(x) + \int_a^b g(x,s) f(s) ds
$$
donde
$$
g(x,s) = \begin{cases} \frac{w_{11}(s) w_{12}(x) + w_{21}(s) w_{22}(x)}{2 W(s)} & \mbox{if } a < s < x < b\\
\\
\frac{w_{11}(x) w_{12}(s) + w_{21}(x) w_{22}(s)}{2W(s)} & \mbox{if } a < x < s < b\end{casos}
$$
Un muy buen tratamiento de la construcción de funciones de Green de segundo orden Odas se puede encontrar en el fantástico libro de los Principios y Técnicas de la Matemática Aplicada, por Bernard Friedman.
