He aquí un problema que, en última instancia, puede requerir sólo simples conocimientos de álgebra-geometría para ser resuelto, o tal vez es muy profundo y nunca será resuelto en absoluto. Por los comentarios, algo de literatura y mi memoria parece que esto fue planteado por Grothendieck como parte del gran programa de motivos.
Considere clases de variedades algebraicas complejas X módulo de relaciones
[X] - [Y] = [X\Y],
[X x Y] = [X] x [Y], Además, si estás familiarizado con la toma de la inversa de una recta afín, vamos a hacer eso también: $$ \exists \mathbb A^{-1}\quad \text{such that}\quad [\mathbb A] \cdot [\mathbb A^{-1}] = [\mathbb A^0].$$
(+ si quieres, también puedes tomar la terminación idempotente y la terminación formal por A^-1).
No es difícil ver que se pueden sumar (formalmente) y multiplicar (producto geométrico como el anterior) esas cosas, por lo que formar un anillo . Denotemos este anillo Mot (En realidad, está muy cerca de lo que Grothendieck llamó motivos del bebé .)
Y para las cosas que forman un anillo se puede estudiar su Spec . Por ejemplo, puede hablar de puntos del anillo - cada punto es, por definición, un homomorfismo hacia los números complejos.
Pregunta: cuáles son las propiedades de
Spec Mot? ¿Cómo describir sus puntos?
Por ejemplo, un punto es Características de Euler $\chi \in \text{Spec}\,\mathbf{Mot}$ Cualquier otro homomorfismo a los números complejos se llama a veces características de Euler generalizadas .
También hay un plano dado por polinomios de Hodge mixtos (es decir, polinomios cuyos coeficientes son números de Hodge ponderados $h^{p,q}_k$ ), ya que el polinomio de Hodge en un punto determinado también satisface esas relaciones (véanse las referencias más abajo).
Como dice Ben a continuación, las cosas se volverían aún más interesantes si consideráramos este anillo para esquemas sobre $\mathbb Z$ porque entonces cada $q$ daría una característica de Euler generalizada $\chi_q$ que cuenta los puntos de $X(\mathbb F_q).$
¿Hay algún otro punto? ¿Alguna otra información?
