Lo que sigue es un intento de motivar a esta hermosa y difícil (en mi opinión) sujeto. Es sólo un intento, no puedo prometer que va a ser útil.
Supongamos que usted tiene una familia de curvas de más de $\mathbb A^1=\textrm{Spec }\mathbb C[t]$, como por ejemplo la familia $$\pi:\textrm{Spec }\mathbb C[x,y,t]/(xy-t)\to \mathbb A^1$$ given by $t\mapsto t$. Como explica muy bien en Hartshorne del libro, deformación de la teoría es la siguiente:
$\textbf{the infinitesimal study of a family in a neighborhood of one of its members.}$
Por ejemplo, el miembro correspondiente de a $t=0$ es muy especial en el por encima de la familia, ya que es el único singular de fibra de $\pi$: el buen hyperbolae degenerados, o más bien, deformar un singular cónica, en la unión de dos líneas en un punto (saca una foto!). En un "barrio" de este miembro de la familia, todas las otras curvas son suaves cónicas, así que cuando nos miran este único, muy especial, singular cónica, la pregunta natural que surge es:
$$\textrm{How could that happen?}$$
La curiosidad hacia la respuesta a tal pregunta podría ser una de las motivaciones para la deformación de la teoría.
Ahora ya se puede ver la relación de los módulos: acabamos de terminar hablando de una "familia de curvas"...
Ahora déjame decirte algo muy ingenuo. Deje $x$ ser un (cerrado) punto en una variedad $X$. ¿Qué significa para deformar $x$$X$? Así, pretender que es un punto en una esfera, luego a "deformar a ti mismo" usted tiene que mirar a su alrededor en todas las direcciones posibles y ver lo que te rodea - pero usted necesita hacer esto infinitesimalmente, primero porque son un punto, y segundo, porque la deformación de la teoría es la infinitesimal estudio de objetos geométricos. Así que resulta que a deformarse a sí mismo significa elegir una dirección de la tangente a la esfera. De manera más general,
$$\{\textrm{Deformations of }x\textrm{ in } X\}=T_xX=\hom_{k(x)}(\textrm{Spec }k[t]/t^2,X).$$
Deje $D=\textrm{Spec }k[t]/t^2$. En general, puede ser este:
Definición. Deje $i:Y\hookrightarrow X$ ser un cerrado subscheme. Un primer orden de la deformación de $Y$ $X$ (también llamado una deformación de"$i$) es plana morfismos $f:\mathfrak X\to D$ donde $\mathfrak X$ es un cerrado subscheme de $X\times D$, $Y$ es la fibra sobre el punto de cierre de $D$, e $f$ es inducida por la proyección de $X\times D\to D$.
Te diré más tarde de lo lindo grupo se describen estos objetos!
Ejemplo. Supongamos $X$ es una variedad tal que $H^1(X,\mathscr O_X)=0$. Este cohomology grupo es el espacio de la tangente de cualquier punto de $[L]\in \textrm{Pic }X$. De modo que si éste desaparece, significa que la línea de paquetes en $X$ no se deforman.
Ejemplo. Deje $\mathbb P^5_\mathbb C$ ser espacio de moduli de avión cónicas. Vamos a elegir una explícita cónica $C\subset\mathbb P^2_\mathbb C$, y tratemos de calcular la tangente del espacio como un punto de $p=[C]$ en el espacio de moduli $\mathbb P^5$. Así nos encontramos con:
\begin{align}
T_{[C]}\mathbb P^5&=\hom_{\mathbb C(p)}(\textrm{Spec }k[t]/t^2,\mathbb P^5) \notag\\
&=\hom_\mathbb C(m_p/m_p^2,\mathbb C)\notag\\
&=H^0(C,N_{C/\mathbb P^2}).
\end{align}
En realidad es $5$-dimensional? Desde
$$N_{C/\mathbb P^2}=\mathscr O_{\mathbb P^2}(C)|_C=\mathscr O_C(2)=\mathscr O_{\mathbb P^1}(4),$$ yes, it is $5$-dimensiones, como se esperaba.
Más que encontrar la espera de la dimensión para el espacio de la tangente, es interesante observar que, una vez que definir lo que es un primer orden de la deformación de $C$ $\mathbb P^2$ es (como lo hice anteriormente), resulta que tales objetos son parametrizadas por el cohomology grupo $H^0(C,N_{C/\mathbb P^2})$. Así que el resultado es: las deformaciones de la cerrada de la incrustación de $C\subset \mathbb P^2$ son exactamente las deformaciones de $[C]$ como módulos de punto en $\mathbb P^5$. No hemos encontrado otro fuerte vínculo con módulos!
De manera más general: El primer fin de deformaciones de un cerrado subscheme $i:Y\hookrightarrow X$ están parametrizados por $H^0(Y,N_{Y/X})$, que es también el espacio de la tangente de $[Y]$ como un punto en el esquema de Hilbert de $X$.
Me di cuenta de que mi respuesta es mucho más largo de lo que pensé fue en mi mente, así que permítanme terminar justificando la ubicuidad de los locales Artinian $k$-álgebras: su categoría es equivalente (en el functor $\textrm{Spec}$) a la categoría de grasas puntos por encima de$k$.
¿Por qué en la tierra, ¿debemos preocuparnos por la grasa de los puntos? (Una grasa punto de $k$ es sólo un $k$- $F$ de manera tal que la estructura de morfismos $F_{\textrm{red}}\to \textrm{Spec }k$ es un isomorfismo: son $0$-dimensiones esquemas de tener un punto de cierre con algunos feo, pero es útil no reducida de la estructura). Ahora, $D=\textrm{Spec }k[t]/t^2$ es uno de esos, pero es muy especial, porque describe el único esquema de la estructura se puede poner en un doble punto. Primer fin de que las deformaciones son los parámetros de esta $D$, y son planas morfismos (decir) $D$ tal que en el punto de cierre no se encuentra el objeto que desea deformar. Teniendo en cuenta sus familias a través de un grueso punto de, por ejemplo, $\textrm{Spec }k[t]/t^3$ es el estudio de orden superior deformaciones. Estos son muy diferentes de los de primer orden uno, por ejemplo, no puede tener cualquier deformación a lo largo de un cierto álgebra $A$, mientras que más de $D$ usted siempre tiene el trivial de la deformación (la correspondiente al elemento de la cohomology grupo de que se trate). Si usted tiene uno, usted puede querer saber si se puede extender más allá, y esto lleva a que el estudio de pequeñas extensiones de local Artin $k$-álgebras.
Las buenas referencias que están en línea notas por Ravi Vakil, y Sernesi el libro de las Deformaciones de la algebraicas esquemas.
