Deje $f,g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser no negativo, funciones continuas, de modo que $$\sup_{x \in [0,1]} f(x)= \sup_{x \in [0,1]} g(x).$$ Debemos mostrarles A $f(t)=g(t)$ algunos $t\in [0,1].$ Gracias por la ayuda.
Respuestas
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Si $f$ es nada igual a $g$, luego por la continuidad de $f-g$ tiene que ser de uniforme signo. Sin Pérdida de Generalidad decir $f-g>0$
Por lo tanto $\displaystyle\frac1{f-g}$ es continua. Desde $[0,1]$ es compacto, $\displaystyle\frac1{f-g}\le M$ es $\displaystyle f-g\ge\frac1M$ uniformly on $[0,1]$
Esto muestra que$$\sup f(x)\ge f(x)\ge g(x)+\frac1M\quad\forall x\in[0,1]$$so that $\displaystyle\sup f(x)\ge\sup g(x)+\frac1M$ , un contradicción con los datos!
Kent
Puntos
201
Vamos $$ f(x_1)=\max_{0 \leq x \leq 1} f(x), \quad g(x_2) = \max_{0 \leq x \leq 1} g(x). $$ Si $x_1=x_2$, hemos terminado. De lo contrario, supongamos que $x_1<x_2$. Ver el$f(x_2)$:$f(x_2) \leq g(x_2)$. Si $f(x_2)=g(x_2)$, hemos terminado. De lo contrario,$f(x_2)<g(x_2)$. Intercambio de $f$$g$, podemos concluir que $f(x_1)>g(x_1)$. Por el teorema del valor intermedio, debe existir un punto de $\bar{x} \in (x_1,x_2)$ tal que $f(\bar{x})=g(\bar{x})$.
