En un anillo general con 1, un divisor cero a la derecha (izquierda) no puede tener un inverso a la derecha (izquierda). En un anillo de matrices sobre un campo, se cumple una condición más fuerte: un divisor nulo (derecho o izquierdo) no puede tener un inverso (derecho o izquierdo), con la prueba que conozco invocando el teorema del rango más la nulidad (que tiene sentido, porque las transformaciones lineales de dimensión infinita pueden tener inversos derechos y ser divisores derechos nulos). ¿Es esto más o menos una peculiaridad de las matrices, o me estoy perdiendo una propiedad más general que éstas (y quizás otros espacios) poseen?
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Stephen
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Es bastante más general que los anillos matriciales, aunque obviamente algunos se requiere la condición de finitud. Es una propiedad de (izquierda) Noetheriano anillos que todo lo que tiene un inverso izquierdo también tiene un inverso derecho.
Prueba: si $x \in R$ tiene un inverso a la izquierda $x^{-1}$ , entonces la multiplicación por la derecha por $x$ es suryente ya que $y=(yx^{-1})x$ . También es inyectiva: dejemos que $I_n$ sea el núcleo (ideal izquierdo) de la multiplicación por la derecha por $x^n$ y elija $n$ con $I_n=I_{n+1}$ (aquí se utiliza Noether). Entonces, si $y \in I_1$ podemos escribir $y=z x^n$ para algunos $z$ , por lo que tenemos $$0=y x=zx^{n+1} \quad \implies \quad 0=zx^n=y$$ por la elección de $n$ . Por lo tanto, la multiplicación por la derecha por $x$ también es inyectiva. Por lo tanto, $$0=(1-x x^{-1})x \implies 1=x x^{-1}$$ así que $x^{-1}$ es un inverso de la derecha para $x$ .
PD: Si el anillo es derecho noetheriano entonces se aplica el argumento contrario (intercambiando derecha e izquierda) al elemento $x^{-1}$ para demostrar que también tiene una inversa a la izquierda. Así que ser noetheriano por un lado es suficiente.
Jonik
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Es una peculiaridad de los anillos "vagamente finitos".
A anillo artiniano derecho tiene una propiedad aún más fuerte que comparten las matrices: si $a$ no es un divisor de cero a la izquierda (no hay ningún $b$ con $ab=0$ ), entonces $a$ tiene un inverso a la izquierda y a la derecha (y por lo tanto son iguales). De hecho, sólo necesita tener el DCC en los ideales principales de la derecha, un anillo perfecto izquierdo .
Los anillos exactos que se buscan son los anillos "Dedekind-finitos": aquellos anillos en los que $ab=1$ implica $ba=1$ . Cada anillo noeteriano unilateral es Dedekind finito.
También se tiene en general, que si $ab=1$ entonces $a(ba-1) = aba-a = 0$ para que si $a$ tiene un inverso a la derecha, entonces o es una unidad (tiene un inverso a la izquierda idéntico a su inverso a la derecha) o es un divisor cero a la izquierda.
Si $ab=1$ pero $ba\neq 1$ Entonces, observe que $a \cdot \left((1-ba)a^j +b\right) = 0 + ab = 1$ y que para los distintos $i,j$ , $(1-ba)a^i \neq (1-ba)a^j$ , de modo que si $a$ tiene un inverso a la derecha, pero ningún inverso a la izquierda, entonces debe tener infinitos inversos a la derecha.
Prueba de equivalencia: Supongamos que ningún divisor de cero unilateral puede tener un inverso unilateral. Entonces todo elemento con una inversa unilateral debe tener una inversa bilateral, pero esa es precisamente la condición que $ab=1 \implies ba=1$ es decir, el anillo es Dedekind-finito. A la inversa, supongamos que el anillo es Dedekind-finito: entonces cualquier elemento con un inverso de un lado tiene un inverso de dos lados, y por lo tanto no puede ser un divisor de cero.
Uno puede encontrar esto y más en el Primer Curso de Anillos No Conmutativos de Lam, especialmente el capítulo 1.
Me alegra ver que se han planteado los anillos finitos de Dedekind como el concepto correcto a tener en cuenta, pero creo que se puede hacer un poco más para ayudar a ver dónde está la condición con respecto a otras condiciones que puedas conocer.
Aquí hay un diagrama reproducido de una parte de mis notas que da una visión (al menos parcial):
Hay muchos nombres extraños ahí arriba, pero entre los dos libros de Lam ( Primer curso sobre anillos no conmutativos y Conferencias sobre módulos y anillos ) podrá reproducir esta tabla. Además de esos libros, hay un documento adicional de Lam que habla de la gama estable y sus parientes inmediatos: Un curso intensivo sobre...
Por supuesto, los anillos matriciales sobre anillos de división se encuentran en la casilla "semisimple". Además de la caja finita de Dedekind, creo que también hay que conocer la caja "establemente finita". Un anillo $R$ se dice que es establemente finito si todas las $n\times n$ anillos matriciales sobre $R$ son Dedekind finitos.
Dado que ya se han mencionado los anillos noetherianos y perfectos, me gustaría contribuir señalando dos ejemplos "nuevos" dados aquí. Dado que hay anillos autoinyectivos de dos lados que no son noetéricos ni semiperfectos, y anillos regulares unitarios que no son noetéricos ni semiperfectos, ni inyectivos en ambos lados, creo que ambas clases de anillos son "nuevas" para este post.
Por último, hay una cosa que añadir a este diagrama. Normalmente no guardo una casilla para "anillo conmutativo", pero si estuviera en esta imagen, tendría una flecha apuntando a "Establemente finito".
Hay una condición más que podría interesarle. Un anillo en el que cada elemento que no es un divisor cero a la izquierda es una unidad se llama anillo cohopfiano derecho . Esto significa esencialmente que si la multiplicación por un elemento de la izquierda hace un mapa inyectivo $R\to R$ entonces es un isomorfismo. Esto se relaciona estrechamente con una definición alternativa de Dedekind finito: Si la multiplicación a la izquierda por $a$ es surjective entonces es un isomorfismo. Esto es decir que $R$ es "hopfiano". Resulta que para un anillo, esta condición es simétrica izquierda-derecha, pero la versión cohopfiana no lo es :)
Tengo un poco de información sobre ellos en esta solución: https://math.stackexchange.com/a/135051/29335 . Los anillos cohofianos de una cara también son finitos de Dedekind. Tendría que volver a comprobar qué cosas del gráfico apuntan a "cohopfiano" :) Son un poco extraños...
