Dejemos que $M\subset \mathbb R^2$ sea el Conjunto de Mandelbrot . ¿Qué es? $\sup\{ y : (x,y) \in M \}$ ? ¿Se sabe esto?
Para ser más descriptivo: Cuál es el supremum de todas las coordenadas y de todos los puntos negros de la siguiente imagen:
_ Imagen File:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg por Wolfgang Beyer con licencia CC-BY-SA 3.0_
Encontré un punto un poco más al norte. Llame al punto original de Misiurewicz del período 13 c1. Hice una secuencia de imágenes mostrando el mapa de repetición a c1, y también a c2, que se muestra a continuación. El punto c2, es $1.68i 10^{−98}$ más septentrional que c1. Básicamente, hay una pequeña componente rotacional de 1/200, de modo que eventualmente el mapa hacia el punto c1 de Misiurewicz, no conduce al punto más septentrional. El mapa de abajo muestra 30 imágenes en el camino hacia c1. Aquí está el punto original c1, junto con un nuevo punto c2, ambos impresos con una precisión de 105 dígitos decimales. c2 es también un punto de Misiurewicz, con un preperiodo de 197, seguido de un periodo de 13, pero está ligeramente más cerca del punto más septentrional. Tanto c1 y c2 como el punto más al norte son equivalentes para 97 dígitos decimales.
c1=-0.207107867093967732893764544285894983866865721506089742782655437797926445872029873945686503449818426679850 + 1.12275706363259748461604158116265882079904682664638092967742378016679413783606239593843344659123247751651i
c2=-0.207107867093967732893764544285894983866865721506089742782655437797926445872029873945686503449815177663235 + 1.12275706363259748461604158116265882079904682664638092967742378016679413783606239593843344659123249431573i
La imagen de arriba parte del mandelbrot principal, y luego muestra ocho imágenes ampliadas, cada una centrada verticalmente en los puntos de Misiurewicz subsiguientes, con el punto más septentrional mantenido constante cerca de la parte superior de la imagen. Los puntos de Misiurewicz en estas ocho imágenes tienen preperiodos de 3,4,5,7,8,9,11,12 antes de llegar al punto fijo que se repite. Estos puntos son eventualmente periódicos, y se calculan secuencialmente utilizando el método de Newton, donde para cada punto con un preperiodo de "n", $f^n+f^{n+1}=0$ . Puedo proporcionar más detalles o el código pari-gp si está interesado.
Este es un grupo de 10 imágenes, que muestran el patrón de repetición en el camino hacia c1, que está muy cerca del punto más al norte. Cada una está centrada verticalmente en los puntos de Misiurewicz subsiguientes, con el punto más septentrional mantenido constante cerca de la parte superior de la imagen. Desde la parte superior izquierda, esta imagen contiene puntos de Misiurewicz con preperíodos de 13,14,16,17,18,20,21,22,24,25, incrementándose con el patrón "1211211211". Después del preperiodo, cada Misiurewicz cae en un punto fijo que se repite.
Este es el segundo grupo de imágenes repetidas, similar al primer grupo, con puntos de Misiurewicz que tienen preperíodos de 26,27,29,30,31,33,34,35,37,38, incrementando con el patrón, "1211211211". El segundo grupo de 10 imágenes está ampliado aproximadamente $10^6$ más que el primer grupo de 10 imágenes. Si se repite este patrón "1211211211" de diez imágenes infinitamente, se llega a un punto de punta de Misiurewicz cerca del punto más septentrional, con un preperiodo de 1, y un periodo de 13. Ese es el punto c1 casi más septentrional de arriba, que es preciso con 97 dígitos decimales.
Si se repite este patrón "1211211211"" 13 veces más para un total de 15 repeticiones, entonces se llega a una "bifurcación" en el Misiurewicz con un preperiodo de 208, donde el camino hacia el punto más al norte cambia. La imagen de la izquierda muestra la bifurcación, ampliada $2.5\cdot 10^{95}$ donde el punto más septentrional de c1 está en la bifurcación de la izquierda, pero el punto más septentrional está en la bifurcación de la derecha.
La bifurcación se produce en el Misiurewicz con un preperiodo de 208=13*16. Las tres imágenes de la bifurcación tienen preperíodos de 208, 210, 211. Después de estas tres imágenes ampliadas, el patrón de repetición vuelve a las secuencias repetidas de 10 imágenes mostradas anteriormente. Si se sigue este patrón de repetición "1211211211" infinitamente, se llega a la punta c2 Misiurewicz con un preperiodo de 197, seguido de un periodo de 13. Este es el punto c2, ligeramente más septentrional que el anterior, que es casi el punto más septentrional del conjunto de Mandelbrot.
Aquí mostramos el primer patrón repetido "1211211211" después de la bifurcación, empezando por el Misiurewicz con un preperiodo de 212. Se puede repetir este patrón infinitamente. Sin embargo, una vez más, hay otra bifurcación en el camino, después de repetir el patrón "1211211211" un total de 24 veces más. Entonces se llega a otra bifurcación con tres imágenes, antes de volver al patrón de repetición. Este límite sería un punto que yo llamo "c3", que es un punto aún más al norte, que es $1.14i\cdot 10^{-246}$ más septentrional que el punto "c2". El punto c3 tiene un preperiodo de 513, seguido de un periodo de 13. Si se continúa siguiendo este nuevo patrón de repetición, también hay un c4 ligeramente más septentrional, con un preperiodo de 842 seguido de un periodo de 13. Llevado al infinito, esto conduce a un punto de Misiurewicz "cn" con un preperiodo de 197, seguido de un periodo de 329. Creo que "cn" es casi el punto más septentrional, con una precisión de más de 7500 dígitos decimales...
Hice un página de imágenes de supremum de 31 imágenes que conducen al conjeturado punto Supremum. $f(x)=x^2+C$ . Si tomamos el punto de C=Robert Munafo, podemos ver que quizás este punto, es el punto donde $f^{14}(0)=-f^{1}(0),\;\;f^{15}(0)=f^{2}(0)$ , donde $C\approx -0.207107867093967+1.122757063632597i$ lo que lleva a $f^{n}(0)$ repitiendo con un período de 13, después del preperíodo. Entonces el punto C es uno de los ceros del polinomio con 2^13 términos. Es la solución más cercana a ese punto. Estimamos numéricamente el cero iterando con el método de Newton, ya que el polinomio es demasiado grande para trabajar con él. El resultado se imprime con 60 dígitos decimales. Como esta solución se repite eventualmente, por definición el punto nunca se escapa al infinito, por lo que es un miembro del conjunto de Mandelbrot. Tales puntos preperiódicos se llaman puntos de Misiurewicz, y son números algebraicos.
$$C \approx -0.207107867093967732893764544285894983866865721506089742782655+ 1.12275706363259748461604158116265882079904682664638092967742i$$
Aquí hay una imagen centrada verticalmente en ese punto, $C \pm 10^{-28}i$ con un pequeño cuadro verde en el centro de la imagen. Por las apariencias, el punto C podría ser la "cima" del Mandelbrot... Si es así, entonces el punto más cercano es el punto de Misiurewicz. Pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Lo que sí sabemos es que, al hacer zoom en el Mandelbrot en un punto de Misiurewicz, en el límite, el zoom es autosimilar y no cada vez más caótico. Para el punto en cuestión, el zoom sobre $10^6$ parece ser auto similar, por lo que una imagen ampliada por $10^{-22}$ o por $10^{-28}$ o por $10^{-34}$ se verían casi idénticos a esta imagen. Además, aparentemente no hay ningún componente rotacional en la auto-similitud; creo que no se requeriría ninguna rotación si este Misiurewicz es la parte superior y sería bueno mostrar que no hay ninguna rotación; ver el página de imágenes de supremum que hice.
Existe el programa Mandel de Wolf Jung, disponible en http://www.mndynamics.com/ que tiene algunos buenos tutoriales sobre los puntos de Misiurewicz.
El sitio Mu-ency de Robert Munafo lo denomina punto más septentrional del conjunto de Mandelbrot, dando la coordenada como $-0.207107867093967+1.122757063632597i$ . Una búsqueda rápida en Google y en la OEIS no encuentra referencias.
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