Ecuación funcional de Cauchy $f(x+y)=f(x)f(y)$ con $f(2)=5$

Question

Si $f$ es una función de valor real con $x,y \in \mathbb{R}$ tal que $$f(x+y)=f(x)f(y)$$ entonces encuentra $f(5)$ dado que $f(2)=5$ .

Entonces, ¿alguien puede decirme si estoy equivocado o dónde? Este era mi enfoque: $$f(1)f(1)=f(1+1)=f(2)=5$$ $$f(1)=\sqrt5$$ $$f(2)f(2)=5^2=f(2+2)=f(4)$$ $$f(4)=25$$ En general, tenemos $$f(2x)=f^2(x)$$ sustituyendo $y=x$ . Combinando estos resultados, llegamos a $$f(5)=f(4+1)=f(4)f(1)=25\sqrt5$$

Vi este problema en una página web y mi respuesta fue marcada como incorrecta. ¿Alguien puede aclararlo?

Answer 1

Esta ecuación funcional tiene el nombre de exponencial exponencial de Cauchy y una función de valor real se llama función exponencial si satisface esta ecuación funcional. La solución general de la ecuación funcional exponencial de Cauchy viene dada por $$f(x)=e^{A(x)}\ \ \ \ and\ \ f(x)=0$$ donde $A:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función aditiva y e es la base napieriana del logaritmo. Para la demostración de este resultado y muchos más resultados relacionados, véase el capítulo $1$ y $2$ del siguiente libro.

${Prasanna\ K.\ Sahoo\ and\ Palaniappan\ Kannappan,\ "Introduction\ to\ Functional\ Equations",\ 2011\ by\ Taylor\ and\ Francis\ Group,\ LLC.}$

Una pista. $f(2)=5$ por lo que con el resultado anterior existe una función aditiva $A:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ; $$f(x)=e^{A(x)};$$ $A(2)=\ln 5$ ya que $A$ es aditivo $A(1)=\ln \sqrt{5}$ y así $A(5)=5\ln \sqrt{5}$ Por lo tanto $$f(5)=25\sqrt{5}.$$

Answer 2

El error está en suponer que $f(1)^2=5 \implies f(1)=\sqrt 5$ ( y no $(-\sqrt 5$ Puede corregirlo comenzando con $ [ \forall x ( f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)^2 \ge 0 ) ] \implies \forall x ( f(x) \ge 0 )$ . Notas a pie de página:(1) Es mejor escribir $f(x)^2$ que $f^2(x)$ ya que esto puede leerse como $f(f(x))$ aunque normalmente hacemos una excepción con las funciones trigonométricas.(2) La función $A(x)$ en la respuesta de Deliasaghi no puede suponerse $kx$ para la constante $k$ a menos que $A(x)$ se supone que es continua. Hay (muchos) aditivos discontinuos $ A : R \to R$ .