Necesidad de Hausdorff en la definición de compacidad?

Question

Según R Engelking - Topología General:

Un espacio topológico $X$ es llamado un espacio compacto si $X$ es un espacio de Hausdorff y cada cubierta abierta de a $X$ tiene un número finito de subcover, es decir, si para cada abierto de la cubierta ${\{U_s}\}_{s\in S}$ del espacio $X$ existe un conjunto finito ${\{s_1,s_2, \dots , s_k}\}\subset S$ tal que $X = U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup \dots U_{s_k}$.*

Y $^*$ significa que su nota de pie de página:

El lector debe advertir que algunos autores no incluyen el supuesto de que $X$ es un espacio de Hausdorff en la definición de compacidad.

De hecho, he visto a la no inclusión de Hausdorffness en la definición de compacidad en C Adams & R Franzosa la Introducción a la Topología. Pura y Aplicada!

Mis preguntas son: Si Engelking el libro de derecho,

1. Por qué Hausdorffness de un espacio como un requisito para la compacidad se omite en (especialmente de pregrado) textos que aunque Hausdorffness es un concepto que se enseña en los libros?!

2. Podría alguien por favor dar un ejemplo de un espacio que es compacto, de acuerdo a la definición sin Hausdorffness, y que no es un espacio de Hausdorff?

Gracias.

EDITAR Una definición debe ser correcta; porque la compacidad es equivalente a la de muchas otras declaraciones por ejemplo, la cercanía+acotamiento (?) ; ¿ Alguna equivalencia de compacidad todavía espera si no es Hausdorff?

EDICIÓN 2 - creo que Engelking la definición está mal en la última frase, ya que debe ser $X \subset U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup \dots U_{s_k}$ (?)

Answer 1

Hay muchos ejemplos. El más simple es cualquier espacio de $X$ con más de un punto que tiene la topología indiscreta, $\{\varnothing,X\}$. El más simple $T_1$ ejemplos son cualquier conjunto infinito con el cofinite topología. La línea con dos orígenes es otra de las $T_1$ ejemplo.

Muchos de nosotros topologists sienten que no hay ninguna buena razón para incluir Hausdorffness en la definición de compacidad y prefieren simplemente para añadir el requisito y, a continuación, hablar de compacto de Hausdorff espacios cuando Hausdorffness es realmente necesario para algo. Aquellos que prefieren incluir Hausdorffness en la definición de compacidad parecen ser en su mayoría influenciados por Bourbaki o por categoría de teoría.

Answer 2

Yo diría que, en general, en la matemática moderna, el significado de "pacto" es "cada apertura de la tapa tiene un número finito de subcover", es decir, no incluye el requisito de Hausdorff.

El enfoque de incluyendo Hausdorff-ness en la definición de los compactos, y en lugar de utilizar la palabra "cuasi-pacto" por el menos restrictivo de la condición, es tradicionalmente asociado con el francés matemáticos y la geometría algebraica. Véase, por ejemplo, Compacto y cuasi-compacto, y cuasi-compact y compact en la geometría algebraica, y francés notacional diferencias.

Answer 3

No hay bien o mal en estos casos. Creo que Bourbaki ha "cuasi compacto", para los que no Hausdorff caso, pero la terminología puede ser visto en otros lugares.

El libro, donde me enteré de la topología de Kelley, donde la propiedad de Hausdorff tiene su importancia, pero no es asumido en toda. Tal vez Engelking tiene sus razones para la inclusión de la propiedad de Hausdorff cuando se habla de espacios compactos: de hecho, se simplifica ciertos resultados debido a un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

El primer ejemplo de un pacto de no espacio de Hausdorff es cualquier conjunto infinito con el cofinite topología. Un espacio de este tipo es, obviamente, compacto, porque el no vacía de subconjuntos abiertos han finito complemento, por lo que cualquier abra la cubierta admite un número finito de subcover.

El más simple prueba de recuerdo de la equivalencia entre el lema de Zorn y Tychonov del teorema utiliza el cofinite topología, por lo que no Hausdorff compacto espacios tienen su relevancia.

Otro importante no Hausdorff compacto espacios surgir en la geometría algebraica, cuando la topología de Zariski.

Answer 4

Otros ya han explicado las diferencias en el uso de diversos convenios. Mi primer curso en la topología fue enseñado por Engelking así que tal vez me puede decir algo acerca de sus motivaciones para esta elección. Tenía normas muy específicas para la notación y la terminología. En particular, si recuerdo correctamente, una directriz fue que las nociones que se utilizan más a menudo merecen nombres más cortos. Si Engelking decidió excluir hausdorffness a partir de la definición de un espacio compacto, entonces la frase "compacto Hausdorff" iba a producirse con más frecuencia en su libro de "pacto" por su propia cuenta y que sería una pérdida de palabras. Por lo tanto, él hizo una opción más económica de la inclusión de esta condición en la definición.

Answer 5

Para 2, tomemos, por ejemplo:

$$X=\{a,b\}$$ $$\tau=\{\emptyset,X\}$$

Cada espacio finito es compacto, por lo $X$ es compacto (de acuerdo a su segunda definición), sino $X$ no es Hausdorff porque no hay ningún conjunto abierto que contiene a $a$ pero no $b$.

Para incluir un menos trivial ejemplo, supongamos $(X,\tau)$ ser cualquier compacto y Hausdorff espacio con más de un punto. Ahora seleccione cualquier $x\in X$, y eliminar de la topología de cada barrio de $x$, con la excepción de $X$ sí. Es decir, definir $$\tau'=\{U\in\tau: x\notin U\}\cup\{X\}$$

Esto es de hecho una topología, porque arbitraria sindicatos y finito intersecciones de conjuntos de $\tau'$ son, sin duda, en $\tau'$.

La identidad de $i:(X,\tau)\to (X,\tau')$ es continua, porque la segunda topología es croaser que la primera, por lo $(X,\tau')$ es compacto. Pero la segunda topología no es Hausdorff, ya $x$ no puede ser separado de cualquier otro punto.