Qué $\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}=0$?

Question

He llegado a un poco de un punto de fricción en mi respuesta al problema 14A dado aquí

http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/pastpapers/2011/ib/List_IB.pdf

(tenga en cuenta que este es un pasado del papel que estoy tratando de para mí y no para el hogar).

De todos modos, las cosas quizás sería aceptar si me podría decir fácilmente que

$\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}=0$

Es este el caso? Si no lo hace la suma es igual? Es convergente?

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También, si alguien tiene alguna idea sobre el final de la pregunta que he publicado, donde se le pide que comente en mi respuesta, que sería muy apreciada.

Answer 1

Utilizando el resultado en este enlace y las referencias dentro de, usted puede demostrar que $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}={\pi\over4}. \tag1$$

Para ser más específicos, el uso de la ecuación (17) en la página 4 de Sorprendente Sinc Sumas e Integrales. Conecte $N=0$$a_0=1$,$N=0$$a_0=2$, restar y dividir por 2 para obtener el resultado (1).

Answer 2

La respuesta correcta es: $\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$

Usted puede ver por ejemplo aquí: Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; y Marichev, O. I. Integrales y Series, Vol. 1: Funciones Elementales. Nueva York: Gordon y el Incumplimiento de 1986. O usar Wolfram Mathematica. :)