No forzar con una clase adecuada de las condiciones de exigir Global Elección?

Question

Cuando Jech, en su Teoría de conjuntos, trata de forzar con una clase de forzar condiciones (con el objetivo de demostrar Easton del teorema), comienza con la suposición de que existe un buen orden de la planta modelo, es decir, el modelo de terreno satisface el Axioma de Global Elección.

Después de haber examinado y, a un grado, se entiende el desarrollo en esta sección, que no puedo averiguar donde actualmente se utiliza esta suposición. El único lugar al que puedo ver donde esto podría ser relevante en la discusión sobre la existencia de un conjunto genérico e incluso parece que aquí Global Elección no es necesario en todas las soluciones posibles. Por ejemplo, si usted justificar el hecho de obligar a través de una reflexión teorema de argumento o un contable de modelo de terreno, no creo que usted necesita Global de Elección.

Por otro lado, usted puede tomar el Boolean valores de la semántica de enfoque y definir el nombre canónico para el conjunto genérico como $\dot{G}(\check{p})=p$ para forzar un condición de $p$ (supone que el forzamiento de la noción es una clase adecuada álgebra de boole). Hasta ahora estamos bien, $\dot{G}$ es una clase en la Booleano modelo de valor, todo es color de rosa. Posiblemente, si nos fueron a definir una clase $\check{M}$, lo que representa el modelo de terreno en la Booleano modelo de valor, a través de $$\|x\in\check{M}\|=\bigvee_{y\in M}\|x=\check{y}\|$$ the Boolean-valued model would see itself as the generic extension of $\compruebe{M}[\dot{G}]$, since this holds when forcing with a set of conditions. Of course, there is a problem in defining $\verificación{M}$ de esta manera, ya que generalmente no tomar sup de una clase adecuada de (diferentes) de valores Booleanos.

Espero que este enfoque debe ser recuperable, mediante Mundial de la Elección. En particular, creo que deberíamos ser capaces de tomar la ofensiva sup dado a lo largo de la buena ordenación de $M$ y de alguna manera "escalonar", por lo que se convierte en bien definido.

No estoy del todo seguro de si esto es legítimo o si incluso la lleva a cualquier parte, así que agradecería comentarios y una explicación de lo que realmente está pasando. Además, ¿alguien puede sugerir otro de referencia para la clase obligando? Yo en general a disfrutar de Jech del libro, pero me he encontrado con esta sección para ser algo opaco y difícil de entender.

Answer 1

Para la clase obligando te sugiero empezar con Sy Friedman trabajo que se puede encontrar aquí.

En particular, su capítulo del Manual de la Teoría de conjuntos (disponible en el sitio anterior) puede ser utilizado como un buen comienzo.

El problema con la clase de forzar es que las clases no son "reales" de los objetos en el universo de la teoría de conjuntos. Son fórmulas interpretarse en el modelo como definibles colecciones. Esto significa que los argumentos que usted puede conseguir "gratis" a partir de conjuntos de ahora son muy caros en el sentido de que usted necesita para comprobar las cosas. Global elección hace las cosas más fáciles, ya que mantiene todas las clases en el mismo tamaño y nos permite elegir de todo a la vez.

Answer 2

Existe $L$definibles por clase forzamientos $P_0$ $P_1$ de manera tal que siempre que $G_0$ $G_1$ $P_0$- genérico, $P_1$-genérico más de $L$, respectivamente.

(a) $ZFC$ mantiene en $\langle L[G_0],G_0\rangle$ y en $\langle L[G_1],G_1\rangle$.

(b) ZFC falla en $\langle L[G_0,G_1],G_0,G_1\rangle$.

Por lo tanto, no podemos preservar ZFC y han genéricos para todos los ZFC preservar $L$definibles por clase forzamientos. De modo que la existencia de los genéricos no es un asunto trivial.

Answer 3

Global elección puede ser omitido ya que se puede argumentar dentro de algunas de las marcas, $M$, y darse cuenta de que el resto de la construcción puede llevarse a sólo suponiendo que $M$ es un modelo de $\mathsf{ZFC+GCH}$ y que existe un filtro genérico; aviso de que $M^B$ no es un valor Booleano modelo de valor, y por lo tanto no necesitamos opción para probar la verdad lema; no tenemos que mostrar $M^B$ es un Booleano modelo de valor, y definimos $p\Vdash\exists x\psi(x,\ldots)$ fib $\forall q\leq p\exists r\leq q\exists a\in M^B(p\Vdash \varphi(a,\ldots)),$ y es fácil probar la verdad lema utilizando sólo el genericity de la $G$.

Sin embargo, si utiliza el nombre canónico argumento de enfoque, usted no necesita global de elección para celebrar en el modelo de terreno, como la que usted necesita para activar $M^B$ a un 2-modelo de valor dentro de $M$, para lograr esto es la construcción de un no-director de ultrafilter de la álgebra de boole clase $B$; como se ha hecho aquí.

Para demostrar la existencia de $U$ dentro $M$ que el uso global de la elección, como sigue: $B=\bigcup_\lambda B_\lambda$ donde $\lambda$ pasa a través de todos los cardenales. Por transifinite de inducción, elija un no-director de ultrafilter $U_\omega$$B_\omega$. Para $\lambda>\omega$ regular, elija un no-director de ultrafilter $U_\lambda$ $B_\lambda$ la ampliación de todos los de la $U_\kappa$ regular $\kappa<\lambda$, a continuación, poner $U=\bigcup_\lambda U_\lambda$.