Cuando se $32x+32$ un número cuadrado?

Question

Estoy tratando de averiguar para qué valores de a $x$ hace la función $f(x)=32x+32$ retorno de un número cuadrado? He encontrado que este es el caso por lo menos: $x \in \{64,1600,53824,1827904,62094400,2109381184\}$ pero no puedo ver un patrón en esos números.

Hay una fórmula que genera estos valores de $x$ en lugar de tratar simplemente de un montón de valores?

Answer 1

$$32(x + 1) = y^2 \implies 32 \mid y^2 \implies 8 \mid y$$ so let $y = 8w$. $$x + 1 = 2w^2 $$ so given any $w$ we can solve for $x$.

Así que el conjunto de soluciones de $(x,y)$ es $$\{(2w^2 - 1, 8w) \mid w \in \Bbb Z\}$$

Answer 2

La respuesta por user3491648 da una caracterización completa de todo el conjunto de valores $x$ que $32x+32$ es un cuadrado de números. Esto es realmente sólo una observación en el conjunto de valores

$$\{64,1600,53824,1827904,62094400,2109381184\}$$

reportado por el OP.

Estos no son en realidad los valores que $x$ toma en. (Como user3491648 encuentra, se requiere una extraña valor de $x$ hacer $32x+32$ un cuadrado.) Más bien, estos parecen ser los cuadrados de los valores que corresponden a los valores de $x$ que son propios de plazas, es decir, de los siguientes valores:

$$\{1,7,41,239,1393,8119\}$$

Por ejemplo, $32\cdot239^2+32=1827904$. No está claro por qué estos valores están siendo señalados, pero ellos no parecen obedecer a dos términos de la recursividad, es decir,

$$a_{n+1}=6a_n-a_{n-1}$$

Por ejemplo, $1393=6\cdot239-41$.

Answer 3

La solución para x tal que 32x+32 es un cuadrado de la siguiente manera: Para la solución integral, x= (n2 -2)/2 tal que x es número Natural.(n es número natural)