Restos de trinomio cuadrático

Question

El problema es determinar, si existe un trinomio cuadrático $f(x) = ax^2 + bx +c$ con coeficientes enteros (con $a$ no es un múltiplo de 2014), de tal manera que los números de $\ f(1), \ f(2),\, \dots,\ f(2014)$ tienen diferentes restos cuando se divide por el 2014?

Sólo he básico de formación en el campo del álgebra y aún no saben cómo abordar el problema. Puedo refactorizar 2014 $2014 = 2 \times 19 \times 53$, pero que no parece ayudar.

Answer 1

Escribir $2014 = 2N$ donde $N = 1007$ es impar. Yo reclamo que

$$f(x) = N x^2 + 2 x = 1007 x^2 + 2x$$

tiene la propiedad requerida.

Tenga en cuenta que $f(x)$ es impar si $x$ es par e impar si $x$ es incluso. Por lo tanto, si $f(i)$ $f(j)$ tienen el mismo resto al dividir por $2014 = 2N$, $i$ $j$ tienen la misma paridad, y por lo $i-j$ es divisible por $2$.

Supongamos que $f(i)$ $f(j)$ tienen el mismo resto al dividir por $2014 = 2N$. A continuación, su diferencia es divisible por $2N$. Sin embargo,

$$f(i) - f(j) = N i^2 + 2i - N j^2 - 2j = N (i^2 - j^2) + 2 (i - j) = (N(i+j) + 2)(i - j).$$

El primer factor $N(i+j) + 2$ es co-prime a $N$ (desde $N$ es impar), y de ahí se sigue que el $f(i)-f(j)$ es divisible por $N$ si y sólo si $i-j$ es divisible por $N$. Así pues, hemos demostrado que si $f(i) - f(j)$ es divisible por $2N$, $i-j$ es divisible por $2$ $N$ y por lo tanto por $2N$. Así que hemos terminado.

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De hecho, la única polinomios se $f(x) = 1007 x^2 + 2b x + c$ para algunas constantes $b$ primer a $1007$, y estas todo el trabajo. Sin dar detalles, la clave de la observación son:

1. Por el Teorema del Resto Chino, la condición en la que el problema es equivalente a $f(1), f(2), \ldots, f(p)$ siendo todos distintos modulo $p$ $p$ los factores primos de a $2014$.

2. Si un polinomio modulo $p$ tiene esta propiedad, y que no tiene una única raíz modulo $p$. Sin embargo, cualquier cuadrática con una raíz racional tiene dos raíces racionales, por lo tanto el $f(x)$ es un número constante de veces un cuadrado, o $f(x)$ es lineal modulo $p$.

3. Si $f(x)$ es un número constante de veces un cuadrado modulo $p$, e $p > 2$, entonces los valores de $f(1), \ldots, f(p)$ no son distintos, porque no hay suficientes residuos cuadráticos módulo $p$.