Es allí una manera de mostrar que el movimiento de la Tierra alrededor del Sol es elíptica (Kepler 1 de la ley) a partir de las leyes de Newton sin recurrir a la utilización de las ecuaciones diferenciales de movimiento?
Respuesta
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Vadim Ferderer
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Newton original de la prueba fue, de hecho, basada en la geometría (él no había inventado el cálculo todavía). Richard Feynman ideó su propio, la más simple prueba geométrica para una de sus famosas conferencias. Usted lo puede encontrar en la Feynman Perdido Conferencia, por Goodstein Y Goodstein, y en este artículo: las Trayectorias de los Planetas de Hall & Higson. Pero ya que es tan divertido, voy a describir aquí.
Vamos a empezar con una de las poco conocidas camino para la construcción de una elipse, el llamado círculo de la construcción. Dibuja un círculo con centro de $O$, y fijar un punto de $A$ dentro del círculo. Elegir un punto de $B$ sobre el círculo, y dibujar la mediatriz de $\overline{AB}$ (línea azul). Se cruza $\overline{OB}$ en un punto de $P$, y como $B$ se mueve alrededor del círculo, estos puntos de intersección que forman una elipse. También, el azul biscector líneas líneas son tangentes a la elipse, y $O$ $A$ son los focos.
¿Por qué es una elipse? Debido a $\overline{AP}$ tiene la misma longitud que $\overline{BP}$, de manera que la suma de las longitudes de $\overline{AP}$ $\overline{OP}$ es constante, es decir, el radio del círculo. En otras palabras, tenemos el clásico de la tachuela y cadena de definición de una elipse. También es sencillo ver que los ángulos $a$ $b$ son iguales. Desde $a$ $c$ también son iguales, esto significa que $b$ $c$ son iguales, por lo que la línea azul es de hecho una línea tangente.
La prueba geométrica de la Segunda Ley de Kepler (planetas barrer áreas iguales en tiempos iguales) de Newton las dos primeras leyes es sencillo y se puede encontrar en el Hall & Higson artículo. Ahora, si un planeta barre un ángulo de $\Delta\theta$ en un intervalo de tiempo pequeño $\Delta t$, se barre un área de
$$
\text{área de}\approx \frac{1}{2}\Delta\theta\, r^2.
$$
En este punto, Feyman el argumento de que se desvíe de Newton: mientras que Newton se rompe la órbita es igual a tiempo las piezas, Feyman considera de igualángulo de piezas. En otras palabras, Feynman se rompe la órbita en las sucesivas piezas con zonas $$ \text{área de}\approx \text{constante}\cdot r^2. $$ Newton del inverso del cuadrado de la ley (que puede ser derivada a partir de la Tercera Ley de Kepler) afirma que la aceleración de un planeta es proporcional al inverso del cuadrado de su distancia $r$: $$ \left\|\frac{\Delta\boldsymbol{v}}{\Delta t}\right\| = \frac{\text{constante}}{r^2}. $$ La eliminación de $r^2$, obtenemos $$ \left\|\Delta\boldsymbol{v}\right\| \approx \text{constante}\cdot\frac{\Delta t}{\text{área barrida en $\Delta t$}}. $$ Pero la Segunda Ley de Kepler establece que el área barrida en $\Delta t$ es una constante en varios de $\Delta t$. Por lo tanto, $$ \left\|\Delta\boldsymbol{v}\right\| \approx \text{constante}, $$ es decir, los intervalos de constante $\Delta\theta$ también tienen un constante cambio en la velocidad. Podemos usar este hecho para la construcción de un llamado de la velocidad del diagrama. Romper la órbita en la igualdad de ángulo piezas, dibuje los vectores de velocidad, y traducir estos vectores en el mismo punto.
Desde $\left\|\Delta\boldsymbol{v}\right\|$ es constante, la figura resultante es un polígono con $\dfrac{360^\circ}{\Delta\theta\,}$ lados. El menor de los ángulos, más se acerca a un círculo.
Ahora, vamos a dibujar el diagrama de velocidad de un planeta en órbita. Si $l$ es la línea tangente a la órbita en el punto de $P$ (en paralelo a los vectores de velocidad en $P$), $l'$ en la velocidad correspondiente diagrama es también paralela a $l$. También tenga en cuenta que $\theta$ en ambos diagramas es el mismo.
Gire la velocidad del diagrama de las agujas del reloj por $90^\circ$, por lo que el $l'$ se convierte en perpendicular a $l$. Construcción de la bisectriz perpendicular $p$ a la línea de $\overline{AB}$, y la intersección $P'$$\overline{OB}$. Resulta que estamos en la misma situación como el círculo de la construcción de la elipse: como $B$ se mueve en la velocidad del diagrama, los puntos de $P'$ forma de una elipse.
Las líneas de $p$ es la de la tangente a las líneas de la elipse. Sin embargo, estas líneas son paralelas a las líneas de $l$, los cuales son la tangente líneas a la órbita del planeta. Debido a la tangente principio, si dos curvas tienen la misma tangente líneas en cada punto, a continuación, esas curvas son las mismas. En otras palabras, las líneas de $l$ también la de la tangente a las líneas de una elipse. Esto demuestra que la órbita de un planeta es, efectivamente, una elipse.
