Top grado de Rham cohomology determina una orientación

Question

Deje $M^n$ ser lisa, compacta orientable, conectado el colector. Sabemos entonces que $H^n_{dR}(M^n)\simeq \mathbb{R}$ por el mapa $[\omega]\mapsto \int_{M^n} \omega$. Me preguntaba si, dada una orientación en $H^n_{dR}(M^n)$, hay una manera de obtener una orientación en $M^n$?

Esencialmente, dada una base de elemento $[\omega]\in H^n_{dR}(M^n)$ (por lo tanto, esencialmente un elemento distinto de cero de la cohomology), somos capaces de encontrar un representante de esta clase, que es una orientación de la forma (en todas partes nonvanishing)?

Alguna idea?

Edit: La idea básica que tuve fue una prueba por contradicción: si para cada a $p\in M$, hay un representante de $[\omega]$ que se desvanece en $p$. Me gustaría mostrar que $\int_{M^n}\omega=0$. Para ello, queremos elegir, en cada coordinar barrio, un ingenioso representante de $[\omega]$ que es cero en ese barrio y resumir. Aquí es donde estoy atascado.

Edit 2: Bott y Tu pueden tener una especie de prueba que implican la Dualidad de Poincaré (en pg. 87), que es un poco por encima de mi nivel. Véase también el teorema 3 aquí (la referencia es a la Bott y Tu).

Answer 1

Bueno, si ya sabes que $M$ es orientable, entonces no es $\eta$ un lugar cero $n$-forma en $M$. Vamos

$C = \int_M \eta \in \mathbb R$.

Ahora para cualquier $[\omega] \in H^n(M)$, considere la posibilidad de $D:= \int_M \omega$. Esto es distinto de cero. A continuación, $[\frac{D}{C} \eta] = [\omega]$

$$\int_M \frac DC \eta = D = \int_M \omega . $$

Tenga en cuenta que $\frac DC \eta$ está en ningún lugar de fuga (por lo tanto una orientación).

Answer 2

Siempre se puede construir un no de fuga forma de volumen, por ejemplo, mediante la elección de una métrica de Riemann. Llamar a esto $\eta$. Desde $H^n_{dR}(M)$ es un one-dimensional espacio vectorial, cualquier valor distinto de cero de la clase $[\omega]$ es un múltiplo de a $[\eta]$, dicen, $[\omega] = c[\eta]$, $c\neq 0$. Por lo $[\omega] = [c\eta]$ y tiene un lugar de fuga representante de $[\omega]$.