Probar cada automorphism puede ser comprendido como la conjugación

Question

Deje $N$ ser un grupo, y $\alpha : N \to N$ ser un automorphism. Demostrar que $\alpha$ puede ser realizado como una conjugación. es decir, existe un grupo de $G$ contiene $N$ como un subgrupo normal con $\alpha(n) = gng^{-1}$ algunos $g \in G$.

Supongo que la manera de hacer esto es construir $G$ como un semi-producto directo de la $N$ con algunos hábilmente un grupo escogido $H$...pero estoy atascado en la recogida de la derecha $G$ o $H$. Este problema viene de Aluffi ejercicio IV.5.7

Answer 1

Estás muy cerca. Recuerde que $\alpha$ es un elemento del grupo $\operatorname{Aut}(N)$, así que como siempre hay un homomorphism $\theta\colon \mathbf{Z} \to \operatorname{Aut}(N)$ determinado por $\theta(1) = \alpha$. Esto más o menos hace el trabajo, aunque ciertamente se podría decir algo extra en el caso de que $\theta$ tiene un no-trivial kernel.

Answer 2

La cosa más simple es recordar que un semidirect producto $N\rtimes K$ de los grupos de $N$ $K$ es equivalente a un grupo de homomorphism $\phi\colon K\to\mathrm{Aut}(N)$: dado un semidirect producto $N\rtimes K$, obtenemos $\phi$ dejando $\phi(k)$ ser el automorphism inducida en $N$ por la conjugación por $k$$N\rtimes K$. Por el contrario, dado un homomorphism $\phi\colon K\to\mathrm{Aut}(N)$, construimos el semidirect producto $N\rtimes_{\phi}K$ como el grupo cuyo subyacente es el conjunto $N\times K$ de todos los pares ordenados $(n,k)$ con $n\in N$, $k\in K$, y con el grupo de operación dado por $$(n,k)\cdot (m,\ell) = (n\phi(k)(m), k\ell).$$ En este grupo, tenemos que $$(e,k)(n,e)(e,k)^{-1} = (e,k)(n,e)(e,k^{-1}) = (e\phi(k)(n)e,kk^{-1}) = (\phi(k)(n),e).$$ Es decir, la conjugación por $(e,k)$ corresponde exactamente a la aplicación de la $\phi(k)$$N$. Podemos entonces identificar a $N$ con el subgrupo $\{(n,e)\mid n\in N\}$, e $K$ con el subgrupo $\{(e,k)\mid k\in K\}$.

Así que para obtener un semidirect producto que desea encontrar algún grupo $K$ y un grupo de homomorphism $\phi\colon K\to\mathrm{Aut}(N)$. Luego de la conjugación por $k$ $N\rtimes K$ corresponderá a la automorphism $\phi(k)$. Ya que queremos que cada automorphism a ser representado, queremos $\phi$ a estar en. Y eso es realmente todo lo que necesitamos.

Así que... sólo tenemos que encontrar a algún grupo de $K$ que tiene en homomorphism a $\mathrm{Aut}(N)$. ¿Cuál es el más simple y el más sencillo, $\phi$ podemos encontrar?