Es posible encontrar la raíz cuadrada usando sólo números racionales y primaria operadores aritméticos

Question

Supongamos que tengo un número de una

¿Cómo puedo encontrar la raíz cuadrada usando sólo +, -, /, * y los números racionales?

Si es imposible, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

El conjunto de los números racionales es cerrado bajo las operaciones aritméticas elementales (a excepción de división por cero), es decir, si tienes dos números racionales y tomar su suma, diferencia, producto o cociente, entonces el resultado es de nuevo un número racional (de nuevo, a excepción de división por cero). Desde $\sqrt{a}$ puede no ser un número racional (es decir, $\sqrt{2}$), no existe una fórmula para $\sqrt{a}$ involucra sólo a las operaciones elementales de cálculo.

La prueba enlace

Answer 2

Si usted permite que un número infinito de operaciones, a continuación, puede utilizar algún algoritmo.

Un ejemplo sencillo es la raíz de la búsqueda a través de método de Newton. Aquí vamos a hacer la iteración $$x_{n+1} = \frac{a + x_n^2}{2x_n},$$ que eventualmente converge a $\sqrt{a}$ si $a$ $x_0$ son positivos.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots para otros métodos.

Answer 3

Cuando se utiliza una infinita cantidad de operaciones, se puede utilizar:

$$ \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. $$ a partir de aquí...