¿Existe una función tal que $f(a)f(b)=f(a^2b^2)?$

Question

Dado $S=\{2,3,4,5,6,7,\cdots,n,\cdots,\} = \Bbb N_{>1}$ demostrar si existe una función $f:S\to S$ , de tal manera que para cualquier $a,b$ : $$f(a)f(b)=f(a^2b^2),a\neq b?$$

Este es el problema 2 de la APMO 2015 (este evento terminó ayer: ver APMO ), tal vez crea que no existe tal función, pero no puedo probarlo.

---

Mi intento:

Considere $p_{i}$ es $i^{th}$ primo, tal $f(2)=2^2,f(3)=5^2,f(5)=11^2,\cdots?$

Answer 1

$$f(a^6)f(a^5)f(a^3)f(a^2)f(a)=f(a^{22})f(a^3)f(a^2)f(a)\\ =f(a^{50})f(a^2)f(a)\\=f(a^{104})f(a)\\ =f(a^6)f(a^5)f(a^3)f(a^2)f(a)=f(a^6)f(a^5)f(a^3)f(a^6)\\ =f(a^6)f(a^5)f(a^{18})\\ =f(a^6)f(a^{46})=f(a^{104})$$

Answer 2

La respuesta existente de Michael es una buena primera prueba, pero creo que es bastante deus ex machina .

Por lo tanto, permítanme esbozar un enfoque para resolver la situación general, proporcionando más información.

---

Supongamos que para todos $a \ne b$ tenemos: $$f(a^nb^n) = f(a)f(b)$$

Entonces, en particular, para todos los $a,b,c,d$ , $a \ne b,c \ne d$ :

$$a^nb^n = c^nd^n \implies f(a)f(b) = f(c)f(d)$$

Reescribiendo y usando eso $n$ Las potencias son inyectivas en los números naturales:

$$\frac ac = \frac db \leadsto ab = cd \leadsto f(a)f(b) = f(c)f(d) \leadsto \frac{f(a)}{f(c)} = \frac{f(d)}{f(b)}$$

En particular, para cualquier $x,y \ge 2$ :

$$\frac{ax}x = \frac{ay}y \leadsto \frac{f(ax)}{f(x)} = \frac{f(ay)}{f(y)}$$

Es decir, existe algún $\lambda_a$ tal que para todo $x$ , $f(ax) = \lambda_a f(x)$ .

Porque $a,x,y$ eran completamente arbitrarias, podemos derivar inductivamente de $$f(aa^n) = \lambda_a f(a^n) = \lambda_{a^n}f(a)$$ que $\lambda_{a^n} = \lambda_a^n$ . A partir de aquí, podemos aplicar el siguiente álgebra básica:

\begin{align*} f(a^{3n}) &= \lambda_a^{3n-1} f(a) = f(a)f(a^2) = \lambda_a f(a)^2 \leadsto f(a) = \lambda_a^{3n-2}\\ f(a^{4n}) &= \lambda_a^{4n-1} f(a) = f(a)f(a^3) = \lambda_a^2 f(a)^2 \leadsto f(a) = \lambda_a^{4n-3} \end{align*} Por lo tanto, $\lambda_a^{n-1} = \frac{f(a)}{f(a)} = 1$ y concluimos que:

$$f(a) = \lambda_a^{3n-2} = \lambda_a (\lambda_a^{n-1})^3 = \lambda_a$$

lo que contradice que $f(a) \in \Bbb N_{>1}$ . Por lo tanto, tal $f$ no puede existir.

---

Llegué a este enfoque escribiendo las condiciones de los valores de la forma $f(a^2b^2)$ y reconociendo que esto recordaba a la construcción de los números racionales.

Answer 3

Dejemos que $f:S\mapsto S $ sea $ f(x)=y$ donde $y$ es el número más pequeño en $S$ para que $y^k=x$ con $k\in\{1,2,3...\}. $ Esta función "deja caer" los exponentes. Funcionaría así $f(36)=f(216)=f(6)=6$

Supongamos que $a=c^d$ y $b=e^f$ donde $c\neq h^i, e\neq j^k $ con $h,j \in S$ y $i,k \in \{1,2,3...\}$ $. Let $ g=gcd(d,f)$

Entonces $f(a^2b^2)=f((ab)^2)=f(ab)=f(c^de^f)=f((c^\frac{d}{g}d^\frac{f}{g})^g)=f(c^\frac{d}{g}d^\frac{f}{g})=c^\frac{d}{g}d^\frac{f}{g}$

$=f(c^{\frac{d}{g} g})f(d^{\frac{f}{g}g})=f(c^d)f(d^f)=f(a)f(b)$

mostrando que la función tiene la propiedad deseada.