Integral elíptica $\int^1_0 \frac{K(k)}{\sqrt{1-k^2}}\,dk$

Question

Pregunta:

Demostrar que

$$\int^1_0 \frac{K(k)}{\sqrt{1-k^2}}\,dk=\frac{1}{16\pi}\Gamma^4\left( \frac{1}{4}\right)$$

Mi intento

Empezar por la transformación

$$k \to \frac{2\sqrt{k}}{1+k}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\int^{1}_0 K\left(\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)\,\frac{1}{\sqrt{k}(1+k)}dk$$

Ahora vamos a utilizar que

$$K(k)=\frac{1}{k+1}K\left( \frac{2\sqrt{k}}{1+k} \right)$$

Así tenemos

$$\int^1_0 \frac{K(k)}{\sqrt{k}}\,dk=2\int^1_0 K(k^2)\,dk$$

[1] no tengo idea de cómo resolver la última integral?

[2] debo utilizar otro método para resolver la integral ?

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Por definición tenemos

$$K(k) = \int^1_0 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2\,x^2}}\,$$

Answer 1

Considere la integral \begin{align} I = \int_{0}^{1} \frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \end{align} donde $K(x)$ es la integral elíptica completa de primera especie. Se puede demostrar que la hipergeométrica formulario \begin{align} K(x) = \frac{\pi}{2} \ {}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; x^{2}). \end{align} Mediante el uso de la serie de forma que la integral se convierte en \begin{align} I &= \frac{\pi}{2} \ \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(1/2)_{r} (1/2)_{r}}{r! (1)_{r}} \ \int_{0}^{1} x^{2r} (1-x^{2})^{-1/2} \ dx. \end{align} Haciendo la sustitución de $x = \sqrt{t}$ la integral se puede lanzar en Beta en función de la forma y de los rendimientos de \begin{align} I &= \frac{\pi}{4} \ \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(1/2)_{r} (1/2)_{r}}{r! (1)_{r}} \ B(r+1/2, 1/2) \\ &= \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \ {}_{3}F_{2}(a,a,a; 1,1; 1) \end{align} donde $a = 1/2$. Ahora, usando la identidad \begin{align} {}_{3}F_{2}(a,a,a; 1,1; 1) = \frac{\Gamma\left(1 - \frac{3a}{2}\right) \ \cos\left( \frac{a \pi}{2} \right)}{\Gamma^{3}\left( 1 - \frac{a}{2}\right)} \end{align} lo que es válido para $Re(a) < 2/3$, el valor integral se ve \begin{align} I = \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \ \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \ \cos\left( \frac{\pi}{4} \right)}{\Gamma^{3}\left(\frac{3}{4}\right)}. \end{align} Ahora usando la relación \begin{align} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\sqrt{2} \pi}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)} \end{align} el valor final se obtiene, es decir, \begin{align} I = \frac{1}{16 \pi} \Gamma^{4}\left(\frac{1}{4}\right). \end{align} Por lo tanto \begin{align} \int_{0}^{1} \frac{K(x)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \frac{1}{16 \pi} \Gamma^{4}\left(\frac{1}{4}\right). \end{align}