Estoy leyendo Topología algebraica por W. Massey y tengo un problema con la prueba de propiedad 5.1 :
Dejemos que $(\tilde{X},p)$ sea un espacio de cobertura de $X$ , $Y$ un espacio conexo y conectado por arcos, $\tilde{x}_0 \in \tilde{X}$ , $y_0 \in Y$ y $x_0=p(\tilde{x}_0) \in X$ . Dado un mapa $\varphi : (Y,y_0) \to (X,x_0)$ existe una elevación $\tilde{\varphi} : (Y,y_0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_0)$ si $\varphi_* \pi_1(Y,y_0) \subset p_* \pi_1 (\tilde{X},\tilde{x}_0)$ .
Para construir $\tilde{\varphi}$ , dejemos que $y \in Y$ y $f : I \to Y$ un camino desde $y_0$ a $y$ . Así que $\varphi p : I \to X$ es un camino desde $x_0$ a $\varphi(y)$ . Sólo existe un camino $g : I \to \tilde{X}$ tal que $g(0)=\tilde{x}_0$ y $pg= \varphi p$ . Definamos $\tilde{\varphi}(y)= g(1)$ .
Podemos demostrar que $\tilde{\varphi}$ está bien definida (es decir, $\tilde{\varphi}$ no depende de la elección de $f$ ) y es obvio que $p \tilde{\varphi} = \varphi$ .
Para demostrar la continuidad de $\tilde{\varphi}$ , dejemos que $y \in Y$ y $U \subset \tilde{X}$ un barrio abierto de $\tilde{\varphi}(y)$ . Podemos suponer $U$ arco conectado. Toma $U'$ un barrio elemental de $p \tilde{\varphi}(y)= \varphi(y)$ tal que $U' \subset p(U)$ y $V \subset Y$ arco conectado tal que $\varphi(V) \subset U'$ ( $\varphi$ es continua).
Por último, el componente de arco de $p^{-1}(U')$ que contiene $\tilde{\varphi}(y)$ se incluye en $U$ .
Pero, ¿cómo probar que para todos $y' \in V$ , $\tilde{\varphi}(y')$ está en el mismo componente de arco de $p^{-1}(U')$ que $\tilde{\varphi}(y)$ ?
