aritmética/categoría teórica de información codificada en $q$-serie recíprocos

Question

De acuerdo con el número pentagonal teorema:

$$\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^{k}q^{k(3k-1)/2}$$

Ahora el recíproco de este tiene los números de partición $p(k)$ en su poder de la serie de la representación:

$$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-q^{n}} = \sum_{k=0}^{\infty} p(k)q^{k}$$

Lo que me llama la atención acerca de esta pareja es que no hay información acerca de las particiones codificados en la generalizada números pentagonales.

1. Hay otros pares de $q$ productos y recíprocos para los que hay un montón de curiosidad acerca de la recíproca porque algún número de la teoría de la información está codificada en los coeficientes de la alimentación de la serie de la representación, y la no-reciprocidad de alimentación de la serie representación tiene bastante sencillo exponentes?

2. Si la respuesta a 1 es sí, entonces también: ¿cómo los exponentes se relacionan con la información codificada por los coeficientes de la alimentación de la serie representación de la reciprocidad?

Answer 1

El número de particiones de $n$ en distintas partes es igual al número de particiones de $n$ en pares de piezas:

$$\sum_{n=0}^\infty p_d(n)q^n = (-q;q)_\infty = \frac{(q^2;q^2)_\infty}{(q;q)_\infty} = \frac{1}{(q;q^2)_\infty} = \sum_{n=0}p_o(n)q^n.$$

Puede producir muchas como esta, y es una buena práctica comprobar.

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Más increíble y hermoso es Ramanujan la Identidad de: $$\sum_{n=0}^\infty p(5n+4) q^n = 5\frac{(q^5;q)^5}{(q;q)^6}.$$ This proves that $p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$!