$\sec\theta$ nunca es igual a $\tan\theta$. O no?!?

Question

Wolfram-alpha está en desacuerdo conmigo. Me pregunto por qué: cuál de los dos es malo?

Yo estaba escribiendo una pregunta para demostrar por qué los dominios de las funciones de la materia. La pregunta es:

¿Existe un ángulo de $\theta$ tal que $\sec\theta=\tan\theta$?

Entonces usted consigue $\sin\theta=1$ $\cos\theta\neq0$ (conocer para conservar esta desigualdad es el punto de la pregunta). Estos ángulos $\theta$ coinciden (por lo $\theta=n\pi+\pi/2$ también $\theta\neq n\pi+\pi/2$). Llegamos a la conclusión de que no hay tal ángulo de $\theta$ existe, por lo $\sec\theta\neq\tan\theta$ todos los $\theta$.

Sin embargo, WolframAlpha no está de acuerdo. Al parecer, $\theta=2n\pi+\pi/2$ funciona (pero no, por ejemplo, $3\pi+\pi/2$). ¿Qué está pasando aquí?

1. Estoy equivocado?
2. ¿WolframAlpha uso de una extraña definición de $\sec$?
3. ¿ Puedo utilizar una extraña definición de $\sec$? (Yo uso $\sec=1/\cos$, que creo que es estándar. Nunca he oído hablar de cualquier otra definición.)
4. Ninguna de las anteriores.

Answer 1

Creo que las otras respuestas, indicando que este es un error cometido por WolframAlpha son perfectamente razonables y yo upvoted todos ellos. Yo también creo que es una buena idea para empujar el botón de comentarios como el de @AlexR sugiere. Sin embargo, podemos realizar la consulta en un contexto más amplio que hace WolframAlpha respuesta razonable y nos muestra cómo solucionarlo al mismo tiempo. Quiero recalcar que yo soy no diciendo que estoy de acuerdo con la WA de salida; simplemente estoy tratando de demostrar cómo podría ser razonable desde un punto de vista.

Para ver esto, pruebe a introducir sólo tan(pi/2) o sec(pi/2) en WolframAlpha. y verás que obtienes el mismo resultado, a saber, $\hat{\infty}$ o complejo infinito. Una interpretación razonable es que WA está trabajando en la Esfera de Riemann y, de hecho, Mathematica hace exactamente eso en este contexto. Esto sugiere que podríamos obtener diferentes resultados a partir de las siguientes consultas:

solve tan(x)=sec(x)

vs

solve tan(x)=sec(x) over the reals

Los invito a probar eso. Tenga en cuenta que todos estos WolframAlpha entradas corresponden a los comandos de Mathematica como la siguiente:

In[1]:= Tan[Pi/2]
(* Out[1]= ComplexInfinity *)

In[2]:= Sec[Pi/2]
(* Out[2]= ComplexInfinity *)

In[3]:= Reduce[Tan[x] == Sec[x], x]
(* Out[3]= Element[C[1], Integers] && x == Pi/2 + 2 Pi C[1] *)

In[4]:= Reduce[Tan[x] == Sec[x], x, Reals]
(* Out[4]= False *)

Answer 2

Supongamos que $$\sec\theta = \tan\theta$$ luego de ello se deduce, a partir de la identidad Pitagórica que $$\sec^2\theta=\tan^2+1$$ $$\tan^2\theta=\tan^2+1$$ $$0=1$$ que es una contradicción, por lo tanto mi primera suposición ( $\sec\theta=\tan\theta$ ) era falso.

Answer 3

$$\frac1{\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\iff\begin{cases}\sin\theta=1\\{}\\and\\{}\\\cos\theta\neq0\end{cases}$$

y puesto que el menor caso siempre sucede cuando el superior ocurre, no hay ninguna solución.

Si WA dice lo contrario entonces es, de nuevo, mal.

Answer 4

Tenga en cuenta que la solución W|reclamaciones es $\frac12 (4\pi n + \pi) = \frac\pi2 + 2\pi n$ pero $\tan\theta$ nunca se define por $\theta = \frac\pi2 + 2\pi n$, con lo que usted ha encontrado un error en W|A, que debe informar a través de su formulario de comentarios.

Answer 5

¿Por qué no???

$\sec \theta = \tan \theta \leftrightarrow \dfrac{1}{cos \theta}=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} $. Debemos conver esta en $\cos \theta$.

$\dfrac{1}{cos \theta}=\dfrac{\pm \sqrt{1-cos^2 \theta}}{\cos \theta}$. Ahora, podemos cortar a $\cos \theta$ desde ambos lados al $\cos \theta\ne0$. Pero al fin nos llega $\cos \theta = 0$.. así, es una contradicción.

En el WA, viendo el gráfico, podemos imaginar si se cruza, a continuación, sólo una vez, de ahi en solución, se dice que el gráfico interects muchas veces. Esto no es semms derecho.