Esto puede ser una pregunta tonta. Entiendo por qué $\frac{x}{x}$ cuando $x=0$ es indefinido. Esto puede causas de errores si una ecuación es dividido por el valor de $x$ y sin restricciones.
$\frac{\infty}{\infty}$ es indefinido. Así que cuando yo uso $\frac{x}{x}=1$ para simplificar una ecuación, puede también conducir a errores debido a que $$ x puede ser igual a infinito? O es $x=\infty$ sin sentido?
$$x = \infty \;\text{ es de sentido en la norma contextos}.$$
Sí, cuando tenemos una fracción de la forma $\dfrac xx$, donde $x \in \mathbb R\setminus \{0\}$, entonces $\dfrac xx = 1, \quad \dfrac {3x}{x} = 3, \text{ etc}.$ Pero $\infty \noen \mathbb R$; no es en sí mismo un número real.
$$x \a\infty ... \;\text{ o } \;\; x \+\infty$$
es que no carece de sentido. Denota "x se arbitrariamente (muy, muy) pequeño", o "x se arbitrariamente (muy muy) grande, respectivamente,
Ahora, lo que sí tenemos, es que por los límites, por ejemplo, $$\lim_{x\+\infty} f(x) \;\;\text{ o}\;\; \lim_{x \a} f(x), \;\; \in \mathbb R$ de$ la hora de evaluar un determinado límite, si se obtiene la forma indeterminada $\infty/\infty$, aun no podemos decir nada acerca de la existencia de un límite. Nosotros, ciertamente, no se puede reducir a $1$ por "cancelación" $\infty$, tanto en el numerador y el denominador porque no representa un número. Esto significa que el numerador y el denominador están creciendo sin límite. Eso no significa necesariamente que el límite no existe: la Obtención de una forma indeterminada, tales como $\infty/\infty$ o $0/0$ es simplemente una señal de que "más trabajo necesita ser hecho" para evaluar el límite, o para determinar si es o no un límite existe.
$x/x = 1$ para cualquier valor distinto de cero real de $x$. Sin embargo, $\infty$ es no es un número real. Ahora, si se evalúa un límite y buscar un resultado que le da $\infty/\infty$, no podemos determinar cuál es el límite debe ser sin más trabajo. Después de todo, "enchufar" el infinito para cualquier de $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x},\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x},\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x} $$ le dará $\infty/\infty$. Sin embargo, estos límites evaluar, respectivamente, a $\infty$, $1$ y $0$ (mostrando que si usted recibe $\infty/\infty$, cuando ingenuamente evaluar el límite, podría ser cualquier número real, o incluso infinito!). Pero si usted está tomando un límite de $$\lim_{t\to\infty}\frac{X(t)}{X(t)}$$ para algunos la expresión $X(t)$ (donde $X(t)\to\infty$ $t\to\infty$), se puede decir que el límite es $1$ mientras $X(t)$ es definido por suficientemente grande $t$, porque $X(t)/X(t) = 1$ para $X(t)$ cualquier número real, además de $0$. En el límite, sólo se consideran arbitrariamente grandes números reales (es decir, en realidad, no infinito), por lo que en tomando el límite, se puede reducir, y vemos $$ \lim_{t\to\infty}\frac{X(t)}{X(t)} = \lim_{t\to\infty} 1 = 1. $$
Ahora, en algunas ramas de las matemáticas, se puede hacer sentido de ciertas expresiones con el infinito. Por ejemplo, podemos hacer que $\Bbb{R}$ o $\Bbb{C}$ compacto, una noción importante en la topología y el análisis, mediante la adición de un "punto en el infinito", es decir, vamos a crear un nuevo sistema dado por $\tilde{\Bbb R} = \Bbb{R}\cup\{\infty\}$ o $\tilde{\Bbb C} = \Bbb{C}\cup\{\infty\}$, donde $\infty$ es una forma de símbolo diseñado para ser sugerente (anotación no estándar). Sin embargo, al hacerlo, nos quite agradable propiedades de $\Bbb{R}$ y $\Bbb{C}$, es decir, $\tilde{\Bbb R}$ y $\tilde{\Bbb C}$ no son campos. En estos nuevos sistemas, se puede definir de muchas expresiones que involucren $\infty$, $$\infty + \infty = \infty, \quad r/\infty = 0, \quad\textrm{y} \quad c/0 = \infty$$ (siempre $r\neq\infty$, $c\neq 0$). Hay expresiones que no se pueden definir, aunque. Estos incluyen $$\infty/\infty, \quad\infty - \infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \textrm{y}\quad 0/0:$$ que usted podría reconocer como indeterminado formas. La razón por la que no son claras en este caso extendido de $\Bbb{R}$ y $\Bbb{C}$ es similar a la razón por la que son indeterminadas en el caso de la normal de cálculo: la definición de ellas de un modo daría lugar a contradicciones. Decir que hemos definido $\infty/\infty = 1$. Entonces $$1 = \infty/\infty = (c/0)/\infty = c/(0\cdot\infty).$$ Tendríamos que decir que $0\cdot\infty = c$ por cada valor distinto de cero $c$ en nuestro campo original, que simplemente no tiene sentido.
En el cálculo, es conveniente para el uso extendido de los números reales: estos son los números reales, junto con dos números adicionales que llamamos $+\infty$ y $-\infty$.
Podemos definir la aritmética con la ampliación de los números reales. Mientras yo sólo podía decir que hemos definido a la aritmética, de modo que $(+\infty) / (+\infty)$ es indefinido (por ejemplo, sólo $0/0$ y $1/0$ son indefinidos), puede ayudar si me señalar la motivación detrás de la media aritmética de la extensión de los números reales.
El extendido de los números reales se introducen a los efectos de realizar el cálculo y análisis más conveniente, y para ello es importante que la aritmética ser continuo: Mientras que la mayoría de las operaciones aritméticas con $+\infty$ y $-\infty$ puede ser definido-por ejemplo, $(+\infty) + 7 = +\infty$ y $(-\infty) \cdot (-47) = +\infty$ -- los siguientes límites de demostrar que $(+\infty)/(+\infty)$ no puede ser definido por la extensión continua:
$$ \lim_{x \+\infty} x = +\infty \qquad \qquad \lim_{x \+\infty} x^2 = +\infty $$ $$\lim_{x \+\infty} \frac{x}{x} = 1 \qquad \qquad \lim_{x \+\infty} \frac{x}{x^2} = 0 $$
Si pudiéramos extender la división continuamente, tanto de los límites en la segunda línea debe ser el valor de $(+\infty)/(+\infty)$. Pero son números diferentes. Así que no podemos hacer esto! Así, podemos optar por dejar $(+\infty)/(+\infty)$ indefinido.
Operaciones aritméticas con los otros sistemas de números que usted puede saber (enteros, racionales, reales, complejos) fueron construidos de manera que podría obedecer a la "familiar" de las leyes de la aritmética. Probablemente usted está automáticamente suponiendo que las viejas leyes de la aritmética continuar para mantener al aprender acerca de los nuevos tipos de números.
El extendido de los números reales, sin embargo, fueron construidos por una razón diferente como he descrito anteriormente, y debido a esto, muchos familiares de las leyes de la aritmética se ha permitido a fallar, así que usted debe ser cauteloso a la hora de hacer operaciones aritméticas con ellos hasta que usted realmente ha acostumbrado a cómo funcionan. (es imposible satisfacer ambos deseos a la vez)
Hay ramas de las matemáticas, donde infinito puede ser considerado como un número. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos que tienen un nombre para el infinito del conjunto de los números naturales. Se llama $\omega$ y se llama a un número ordinal, que es una generalización del concepto de número. Para tal número infinito, si se utiliza en el contexto de la surrealista números, usted puede escribir $\frac{\omega}{\omega}=1$ sin el uso de límites. Sólo mis dos centavos
En el conjunto de los números reales $\bf R$ no existen infinitos valores, no hay números llamado "infinito" o dado la etiqueta '$\infty$.' Por lo tanto, "$x=\infty$" no tiene sentido en un contexto en el que $x$ es un número real. Así que en la mayoría de los análisis estándar de los contextos, $x=\infty$ nunca iba a suponer un problema, porque nunca es una posibilidad para comenzar con. Hay otros contextos en los cuales $x=\infty$ (o cosas similares) están permitidas, aunque.
Con los números cardinales (que pueden ser considerados como los posibles tamaños de conjuntos), hay infinidad de cardenales. El más pequeño infinito cardinal $\aleph_0$ (aleph-nulo) es el tamaño de $\bf$ N, los números naturales. No tiene sentido realizar la división de los cardenales en general, debido a que los resultados no están bien definidos (tampoco es la resta, que es la sustancia de Hilbert del Hotel paradoja). Lo que esto significa es que si la partición de un conjunto de tamaño $\alpha$ en cada una de las piezas de tamaño $\beta$, la cantidad de $\gamma$ de piezas que el resultado (que podemos deseo a pensar en como la relación de $\alpha/\beta$) no se determina únicamente por la mera los números $\alpha$ y $\beta$ si son infinitas.
El llamado surrealista números también implican infinitos, en los que hemos cantidades que son mayores que cualquier número real, así como infinitessimals que son menores que cualquier número real. En este contexto es posible dividir por algo que no es cero (se dice que el surreals forma de un campo).
Con un topológico de mentalidad que puede ampliar el número de línea o el plano complejo colindando formal de símbolos como $\infty$, que funcionan como una infinita cantidad en algún sentido. En el caso del plano complejo $\bf$ C, el punto de compactification los rendimientos de la esfera de Riemann ${\bf C}\cup\{\infty\}$. Aquí es realmente posible y deseable dividir por $\infty$. Si queríamos (en el contexto de la lineal fraccional transformaciones), podríamos estipular que $a/\infty=0$ para $a\ne\infty$ y $\infty/\infty=1$ de otra manera. Sin embargo, a continuación, perdemos la capacidad de hablar acerca de cosas como $a\cdot\infty$, sin contradicciones de la formación. En última instancia, sólo queremos que $z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$ a extenderse a partir de un mapa desde el avión a sí mismo en un mapa en la esfera.
En conclusión, en el estándar contexto de los números reales "$x=\infty$" no significa literalmente cualquier cosa, aunque puede ser interpretada en muchas circunstancias el uso de límites. En los más variados contextos, puede haber múltiples infinitos, de modo que "$x=\infty$" es ambiguo, e incluso después de la división por los infinitos no es generalmente bien definidas - la creencia de que puedes dividirlos puede conducir a errores. En otros contextos la división por cualquier infinity está bien definido, y en la otra podemos plug $x=\infty$ a ciertas fracciones de las expresiones, pero no todos los axiomas de la aritmética son aplicables a infinito. Etc. etc.
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