Que es más grande, $70^{71}$ o $71^{70}$ ?

Answer 1

$$\left(1+\dfrac1{70}\right)^{70}<e<70$$

Ver ¿Cómo es $a_n=(1+1/n)^n$ monótonamente creciente y acotado por $3$ ?

Answer 2

Comparación de $70^{71}$ y $71^{70}$ es lo mismo que comparar $70^{1/70}$ o $71^{1/71}$ .

La función $f(x)=x^{1/x}$ tiene exactamente un máximo local, en $x=e$ y por lo tanto es decreciente para $x>e$ .

Por lo tanto, porque $70>e$ tenemos $70^{1/70}>71^{1/71}$ y así $70^{71}>71^{70}$ .

La misma técnica demuestra que $(n+1)^n<n^{n+1}$ para $n\geq 3$ .

Answer 3

De otra manera, $70^{71}=70^{70}\times70$ y $71^{70}=70^{70}\times(\frac{71}{70})^{70}$ . Ahora se requiere un pequeño cálculo que implique $(\frac{71}{70})^{70}=2.699<70.$ Por lo tanto, $70^{71}>71^{70}.$