Otra cuestión es la de cuál es más grande: $70^{71}$ o $71^{70}$ . Lo resolví observando que $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ es decreciente para todos los $x>e$ desde $f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}<0$ para todos $x>e$ . Entonces tenemos $$ \begin{align*} \frac{\ln(70)}{70}>\frac{\ln(71)}{71} &\iff 71\ln(70)>70\ln(71)\\ &\iff \ln(70^{71})>\ln(71^{70})\\ &\iff e^{\ln(70^{71})}>e^{\ln(71^{70})}\\ &\iff 70^{71}>71^{70}. \end{align*} $$ Busqué brevemente problemas similares a lo largo de esta idea, pero realmente no encontré mucho en otras ideas sobre cómo resolver esto. Así que abro esto al grupo: ¿de qué otra manera se podría demostrar esto?
EDIT: Así que este problema es un caso específico del problema más general que aparentemente he duplicado. Sin embargo, podemos ampliar el problema duplicado permitiendo entradas de números reales en lugar de sólo enteros. Así $x^{(x+1)}>(x+1)^x$ para todos los reales $x>e$ . Esto se demuestra siguiendo exactamente la misma prueba que di anteriormente con las sustituciones apropiadas: $$ \begin{align*} \frac{\ln(x)}{x}>\frac{\ln(x+1)}{x+1} &\iff (x+1)\ln(x)>x\ln(x+1)\\ &\iff \ln(x^{(x+1)})>\ln((x+1)^{x})\\ &\iff e^{\ln(x^{(x+1)})}>e^{\ln((x+1)^{x})}\\ &\iff x^{(x+1)}>(x+1)^{x}. \end{align*} $$ Gracias a todos por las aportaciones.
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Creo que $f(x)$ es decreciente para ' $x>e$ '.
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Por supuesto. Lo editaré en consecuencia.
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/517555/