Ecuación del cono frente al paraboloide elíptico

Question

No puedo entender por qué $$\frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \tag{*}$$ corresponde a un paraboloide elíptico y $$\frac{z^2}{c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \tag{**}$$ a un cono, y no al revés.

Traté de entender mirando los rastros de $z(x,y)$ . Por ejemplo, lo hice para (**):

$\boxed{\text{When } x = k:}$ Entonces (**) se convierte en: $\displaystyle \frac{z^2}{c^2} - \frac{y^2}{b^2} =\underbrace{\frac{k^2}{a^2}}_{\text{a constant}} \color{green}{\text{: hyperbolas in the $ yz $-plane.}}$

${\boxed{\text{When } y = k:}}$ Entonces (**) se convierte en: $\displaystyle \frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} = {\underbrace{\frac{k^2}{b^2}}_{\text{a constant}}\color{red}{\text{: hyperbolas in the $ xz $-plane.}}}$

$\boxed{\text{When } z = k:}$ Entonces (**) se convierte en: $\displaystyle \underbrace{\frac{k^2}{c^2}}_{\text{a constant}} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \color{blue}{\text{: ellipses in the $ xy $-plane.}}$

He dibujado la siguiente forma basándome en esta información, pero parece que no me dice si es un paraboloide elíptico o un cono?

---

$\Large{\text{Supplementary Question:}}$ Muchas gracias a todas vuestras respuestas, ¡todas me han servido de ayuda! Basándome en ellas, el paso clave parece ser mirar los rastros de $z(x,y)$ para $k = 0.$ Ahora entiendo que esto responde a mi pregunta, pero ¿por qué mi trabajo original con $k \neq 0 $ ¿no lo hace? Mi libro de texto no menciona este último "truco" directo.

---

$\Large{\text{Question S.1:}}$ @bubba: Muchas gracias por su respuesta a la pregunta complementaria. Para aclarar su respuesta, ¿quiere decir: "pero, en cualquier caso, son hiperbolas curvas} a menos que $k=1.$ " Como escribí anteriormente, para $\text{(*)}$ los rastros $x=k \text{ & }y = k$ sí dan lugar a hipérbolas. Pero para $\text{(*)}$ ,
$ \boxed{\text{When } x = k:}$ Entonces (*) se convierte en $\displaystyle \frac{z}{c} - \frac{y^2}{b^2} =\underbrace{\frac{k^2}{a^2}}_{\text{a constant}} \text{: PARAbolas in the $ yz $-plane.}$

${\boxed{\text{When } y = k:}}$ Entonces (*) se convierte en: $\displaystyle \frac{z}{c} - \frac{x^2}{a^2} = {\underbrace{\frac{k^2}{b^2}}_{\text{a constant}}{\text{: PARAbolas in the $ xz $-plane.}}}$ .

Por supuesto, el hecho de que las trazas de (*) sean parábolas y NO hipérbolas sigue sin responder a mi pregunta original. Como amablemente has explicado y ahora entiendo, es necesario considerar $k = 0.$

Answer 1

Algo que hay que notar es que en la ecuación

$$\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\tag{1}$$

$z$ será no negativo o no positivo, dependiendo del signo de $c$ . Esto significa que esta sección cónica nunca se sumergirá por debajo del $xy$ -plano si $c$ es positivo, o nunca se eleva por encima del $xy$ -plano si $c$ es negativo. Ya que los conos se ven así:

$\hspace{2.25in}$

$(1)$ no debe ser un cono.

Otra alternativa, y quizá más ilustrativa, es observar que en la ecuación

$$\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\tag{2}$$

Si ponemos $x=0$ es decir, si miramos la intersección con el $yz$ -plano, obtenemos las dos rectas

$$y=\pm\frac{b}{c}z$$

que coincide con lo que cabría esperar de la imagen. Obtenemos un resultado similar si dejamos que $y=0$ . Así que $(2)$ representa un cono.

Answer 2

Piensa que en dos dimensiones, y^2 = x^2 representa un conjunto de rectas, mientras que y = x^2 es una parábola.

En (*), fijamos x=0. Entonces es fácil ver que se obtiene una parábola de la forma z = y^2 (ignorando las constantes). Por lo tanto, la base de un paraboloide elíptico.

En (**), fijando x=0 obtenemos algo de la forma z^2 = y^2, o +-z = +-y. Estas son las rectas necesarias para un cono.

Answer 3

Olvídese de la parte "elíptica" por un minuto (en otras palabras, suponga $a$ = $b$ ). Esto no es más que un escalado de la $x$ y $y$ ejes, por lo que no cambia realmente el problema. Entonces la segunda de tus ecuaciones (**) es aproximadamente equivalente a $\sqrt{x^2 + y^2} = mz$ , donde $m = 1/{c^2}$ . Esto dice que el "radio" de la superficie aumenta linealmente como $z$ aumenta. Entonces, es un cono.

Answer 4

X^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c^2 -> no puede ser un cono porque la ecuación general del cono es una ecuación homogénea de 2º grado que pasa por el origen, como no es homogénea no es un cono.

para z= k^2 -> x^2/a^2 + y^2/b^2 = k^2/c^2 -> en el plano xy representa la elipse, a medida que aumentamos k, el tamaño de la elipse también aumenta en el plano xy.

en el plano xz -> y=0 -> x^2/a^2 = z/c^2 -> que es una ecuación de parábola para z= k^2,

y en el plano yz -> x=0 -> y^2/b^2 = z/c^2 -> de nuevo ecuación de la parábola para z= k^2.

por lo que la curva así obtenida es un paraboloide elíptico.

x^2/a^2 + y^2/b^2 = z^2/c^2 -> ecuación homogénea de 2º grado que pasa por el origen, así que por definición de cono, la ecuación representa un cono. visualicemos más:

para z=k -> x^2/a^2 + y^2/b^2 = k^2/c^2 -> representar la elipse en el plano xy potencia par de x,y,z por lo que es simétrica respecto a cada plano de coordenadas. en el plano xz -> y=0 -> x^2/a^2 = z^2/c^2 -> x/a = z/c y x/a = -z/c -> par de líneas que son la generatriz del cono.