¿Qué derivada con respecto al tiempo es cuál en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica?

Question

Para un observable $A$ y un hamiltoniano $H$ , Wikipedia da la ecuación de evolución temporal para $A(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar}$ en la imagen de Heisenberg como

$$\frac{d}{dt} A(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A] + \frac{\partial A}{\partial t}.$$

Por su derivación, parece que $\frac{\partial A}{\partial t}$ se supone que es la derivada del operador original $A$ con respecto a $t$ y $\frac{d}{dt} A(t)$ es la derivada del operador transformado. Sin embargo, la derivación de la Wikipedia continúa diciendo que $\frac{\partial A}{\partial t}$ es la derivada con respecto al tiempo de la transformado operador. Pero si eso es cierto, entonces ¿qué hace $\frac{d}{dt} A(t)$ ¿se refiere a eso? ¿O es sólo un error?

(Necesito saber de qué término deshacerme si $A$ es independiente del tiempo en la imagen de Schrodinger. Creo que es $\frac{\partial A}{\partial t}$ pero nunca se puede estar demasiado seguro de estas cosas).

Answer 1

No hay ningún error en la página de Wikipedia y todas las ecuaciones y afirmaciones son coherentes entre sí. En $$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar}$$ la carta $A$ en el centro del producto representa el operador de imagen de Schrödinger $A = A_{\rm Schr.}$ que no evoluciona con el tiempo porque en la imagen de Schrödinger, la evolución dinámica está garantizada por la evolución del vector de estado $|\psi\rangle$ .

Sin embargo, esto no significa que el tiempo derivado $dA_{\rm Schr.}/dt=0$ . En cambio, tenemos $$ \frac{dA_{\rm Schr.}}{dt} = \frac{\partial A_{\rm Schr.}}{\partial t} $$ Aquí, $A_{\rm Schr.}$ es una función de $x_i, p_j$ y $t$ . En la mayoría de los casos, no hay dependencia de los operadores de la imagen de Schrödinger en $t$ - que llamamos "dependencia explícita" - pero es posible considerar un caso más general en el que esta dependencia explícita existe (algunos términos de la energía, por ejemplo la energía electrostática en un campo externo, pueden ser naturalmente dependientes del tiempo).

En la imagen de Schrödinger, $dx_{i,\rm Schr.}/dt=0$ y $dp_{j,\rm Schr.}/dt=0$ por lo que la derivada total de $A_{\rm Schr.}$ con respecto al tiempo viene dada simplemente por la derivada parcial con respecto al tiempo. Imagina, por ejemplo, $$ A_{\rm Schr.}(t) = c_1 x^2 + c_2 p^2 + c_3 (t) (xp+px) $$ Tendríamos $$ \frac{dA_{\rm Schr.}(t)}{dt} = \frac{\partial c_3(t)}{\partial t} (xp+px).$$ Estos operadores imagen de Schrödinger se denominan "no transformados" en esa página de Wikipedia. Los transformados son los operadores imagen de Heisenberg dados por $$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\rm Schr.}(t) e^{-iHt/\hbar}$$ Su derivada del tiempo, $dA_{\rm Heis.}(t)/dt$ es más complicado. Una fácil diferenciación da exactamente la fórmula que implica $[H,A_{\rm Heis.}]$ que usted citó también. $$\frac{d}{dt} A_{\rm Heis.}(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A_{\rm Heis.}(t)] + \frac{\partial A_{\rm Heis.}(t)}{\partial t}.$$ Los dos términos del conmutador surgen del $t$ -derivadas de los dos exponenciales en la fórmula del Heisenberg $A_{\rm Heis.}(t)$ mientras que la derivada parcial surge de $dA_{\rm Schr.}/dt$ que siempre hemos tenido. (Estas sencillas ecuaciones siguen siendo así de sencillas incluso para un $A_{\rm Schr.}$ Sin embargo, tenemos que asumir que el total de $H$ es independiente del tiempo, de lo contrario todas las ecuaciones se complicarían). Las dos exponenciales de ambos lados nunca desaparecen por ningún tipo de derivada, por lo que, obviamente, todas las apariciones de $A$ en la ecuación diferencial anterior son $A_{\rm Heis.}$ . La ecuación mostrada arriba es la (única) ecuación dinámica para la imagen de Heisenberg, por lo que es autocontenida y no incluye ningún objeto de otras imágenes.

En la imagen de Heisenberg, ya no se trata de que $dx_{\rm Heis.}(t)/dt=0$ (¡no!) y la identidad similar falla para $p_{\rm Heis.}(t)$ también. $A_{\rm Heis.}(t)$ es una función general de todos los operadores básicos $x_{i,\rm Heis.}(t)$ y $p_{j,\rm Heis.}(t)$ y el tiempo $t$ .

Answer 2

La imagen de Heisenberg se define como

$$A_{\mathrm{H}}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\mathrm{S}}(t) e^{-iHt/\hbar}$$

diferenciando ambos lados obtenemos

$$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{H}}(t) = [ A_{\mathrm{H}}(t), H] + i\hbar \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}} \>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\> (1)$$

Algunos libros de texto reescriben el último término utilizando la notación [*]

$$\frac{\partial}{\partial t} A_{\mathrm{H}}(t) \equiv \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}}$$

[*] Estoy de acuerdo en que esta notación es incómoda para los matemáticos (no es una verdadera derivada parcial) y los libros de texto de física más rigurosos utilizan (1) con la derivada total del tiempo.

Answer 3

Lo más fácil es derivar esto de la imagen de Schrödinger:

Dejemos que $B(t)$ sea un operador dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. El operador correspondiente en la imagen de Heisenberg es $A(t) = e^{iHt/\hbar} B(t) e^{-iHt/\hbar}$ . Diferenciación con respecto a $t$ da

$$ \frac{d}{dt} A(t) = e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} H B(t) + \frac{\partial}{\partial t}B(t) - \frac{i}{\hbar} B(t) H) \right) e^{-iHt/\hbar} $$ $$ = e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} [H,B(t)] + \frac{\partial}{\partial t}B(t)\right) e^{-iHt/\hbar} = \frac{i}{\hbar} [H,A(t)] + \frac{\partial A}{\partial t} $$

En otras palabras, la última derivada parcial debe entenderse en el sentido de que se toma el operador $\frac{\partial B}{\partial t}$ y "evolucionarlo en el tiempo" a través de la ecuación de Schrödinger.

Ejemplo útil: el operador de velocidad $\vec v$ . El operador de velocidad es la derivada del operador de posición, pero es la derivada total a medida que el sistema evoluciona. Por lo tanto,

$$ \vec v = \frac{i}{\hbar} [H,\vec r] .$$

En la imagen de Schrödinger, el operador de posición es, por supuesto, independiente del tiempo. Dado que $H$ es también independiente del tiempo, este es también el operador de velocidad derecho en la imagen de Schrödinger.

Answer 4

Como siempre en la formulación hamiltoniana de la mecánica, ya sea clásica o cuántica, $$\partial A\over\partial t$$ significa el camino $A$ varía explícitamente en el tiempo simplemente de la ocurrencia de $t$ explícitamente en su fórmula .

Pero algunas de las otras partes de la fórmula de $A$ también podría cambiar con el tiempo, contribuyendo así a la total cambio en $A$ con el paso del tiempo, anotado $$dA\over dt.$$

Esto es lo mismo que la notación de la regla de la cadena en varias variables donde $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt$ . El diferencial del lado izquierdo es el "diferencial total". $df$ pero es la suma de dos términos, de los cuales sólo uno es la dependencia explícita de $f$ en $t$ .

Answer 5

Para los que estén haciendo los deberes y -como yo- tengan la cabeza dando vueltas a las imágenes de Schrodinger frente a las de Heisenberg, y en consecuencia hayan perdido de vista los principios básicos que te han traído hasta aquí, recuerda que hay una diferencia entre la evolución de los valores de expectativa y la evolución de los operadores.

$$\frac{\partial x}{\partial t} = 0$$

el operador $x$ no evoluciona con el tiempo en la imagen de Schrodinger. Sin embargo, en la imagen de Heisenberg, en relación con la pregunta original que inició este hilo, $x$ se representaría con operadores de evolución adheridos a ambos lados, cada uno de los cuales tiene una dependencia explícita del tiempo. Por lo tanto, lo que creo que Wikipedia quería decir con "operador transformado" está relacionado con la "imagen" en la que se representa.