Encontrar el último dígito de $3^{729}$

Question

Estoy practicando para mi examen de álgebra pero me he topado con una pregunta que no sé cómo resolver.

Dejemos que $N = 3^{729}$ . ¿Cuál es el último dígito de $N$ ?

El ejemplo de respuesta dice

Desde $\gcd(3, 10) = 1$ Compruebe que $3^4 = 81 = 1 \pmod {10}$ : Ahora, $729 = 182 \times 4 + 1,$ por lo que obtenemos que obtenemos (que podría ser un error tipográfico o se perdió un paso) $3^{729} = 3 \pmod {10}$ .

¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta? Muchas gracias.

Answer 1

Cada dígito del 0 al 9 tiene un patrón de 4 dígitos cuando se eleva a una potencia exponencial. Simplemente divide la potencia entre 4 y el resto te muestra en qué punto del patrón te encuentras. Aquí están los patrones para los 10 dígitos. Observe que el resto 1 corresponde al primer dígito del patrón y el resto 2 corresponde al segundo dígito del patrón. El resto 3 corresponde al tercer dígito y el resto 0 (la potencia es divisible por 4) corresponde al cuarto dígito del patrón. Pruebe usted mismo con una calculadora y se dará cuenta de ello.

0,0,0,0   
1,1,1,1   
2,4,8,6   
3,9,7,1   
4,6,4,6   
5,5,5,5   
6,6,6,6   
7,9,3,1   
8,4,2,6   
9,1,9,1

Answer 2

Por Teorema de Euler , si $\gcd(a, m) = 1$ entonces $$ a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m} $$ En caso de que $m = 10$ tienes $\phi(10) = 4$ .

En este caso: $\gcd(3, 10) = 1$ Así que..: $$ 3^{729} \equiv 3^{182 \cdot 4 + 1} \equiv (3^4)^{182} \cdot 3^1 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{10} $$ Es decir, el resultado es 3.

Answer 3

$3^1 \equiv 3(\mod 10)$

$3^{2} \equiv -1 (\mod 10) $

$3^3 \equiv 7 (\mod 10)$

$3^{4} \equiv +1 (\mod 10) \implies 3^{4k} \equiv +1 (\mod 10)$

$3^{4k} \cdot 3 \equiv 3 (\mod 10)$

$3^{4k} \cdot 3^2 \equiv -1 (\mod 10)$

$3^{4k} \cdot 3^3 \equiv 7 (\mod 10)$

$729= 4k+1 \implies 3^{729} \equiv 3 (\mod 10)$

Answer 4

$3^0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 1\equiv3^0\mod 10$

$3^1\equiv 3\times 1\equiv 3\equiv3^1\mod 10$

$3^2\equiv 3\times3\equiv 9\equiv3^2\mod 10$

$3^3\equiv 3\times9\equiv 7\equiv3^3\mod 10$

$3^4\equiv 3\times7\equiv 1\equiv3^0\mod 10$

$3^5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 3^1\mod 10$

$3^6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 3^2\mod 10$

$3^7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 3^3\mod 10$

$...$

$3^{728}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 3^0\mod 10$

$3^{729}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \equiv 3^1\mod 10$

Answer 5

Tengo un enfoque fácil y sencillo para esta pregunta.

Potencia de 3 Última cifra

$3^1: 3$

$3^2: 9$

$3^3: 7$

$3^4: 1$

$3^5: 3$

$3^6: 9$

$3^7: 7$

$3^8: 1$

De la demostración anterior podemos ver alguna similitud que es el último dígito para $3$ se repite continuamente $(3,9,7,1)$ .

Podemos ver que $279\cong 1 \mod 4$ A partir del último dígito del $3^1 = 3$ . Así que el último dígito de $3^279 = 3$ . Bastante simple, eh.