Valor de $\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{99}}}$

Question

Aquí está la pregunta:

$$\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{99}}} = \;?$$

(imagen original)

Creo que tenemos que simplificar la escritura en un simbolo como se puede ver aquí:

$$\frac{\sum\limits_{n=1}^{99} \sqrt{10 + \sqrt{n}}}{\sum\limits_{n=1}^{99} \sqrt{10 - \sqrt{n}}}$$

o en Wolfram Alpha de entrada en los comentarios.

Puedo calcular también! Es fácil escribir un guión para este tipo de pregunta. Necesito una manera de resolverlo. ¿Cómo se podría solucionar en un pedazo de papel?

Answer 1

Sugerencia: Muestre que para todo el $n$ $$ \frac{\sqrt{10+\sqrt{100-n}}+\sqrt{10+\sqrt{n}}}{\sqrt{10-\sqrt{100-n}}+ \sqrt{10-\sqrt{n}}}=\sqrt2 +1. $$ IOW par de términos en el numerador y el denominador a partir de ambos extremos.

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[Modificar:]

La reclamación. Suponga que $a,b,c$, todas positivas, son las longitudes de los lados de un ángulo recto del triángulo de una terna Pitagórica si te gusta - $c$ es la hipotenusa. Entonces $$ \frac{\sqrt{c,+}+\sqrt{c+b}}{\sqrt{c}+\sqrt{c, b}}=1+\sqrt2. $$

Prueba. El lado izquierdo de la demanda es claramente inmune a escala. Podemos ajustar la escala de modo que las $c-b=2$. Luego de un cálculo (familiar para los amantes de las ternas Pitagóricas) muestra que, para algún número real positivo $m$ hemos $$c=m^2+1,\quad b=m^2-1,\quad a=2m.$$ (IOW instead of the usual integer parametrization in terms of $(m,n)$ we set $n=1$, and let $m$ be arbitrary.) We then see that the numerator is $m+1+\sqrt2 m=m(1+\sqrt2)+1$, and the denominator is $m-1+\sqrt2$. Because $(\sqrt2+1)^{-1}=\sqrt2-1$ el reclamo de la siguiente manera. Q. E. D.

Dejando al lector para derivar la identidad de mi sugerencia como un corolario de la afirmación.

Answer 2

Para el Cálculo de $$\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n+\sqrt{k}}}{\sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n-\sqrt{k}}} = $$

Vamos $$\displaystyle A_{n} = \sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n+\sqrt{k}}$$ and $$\displaystyle B_{n} = \sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n-\sqrt{k}}$$ , where $n>1$

Ahora $$\left(\sqrt{n+\sqrt{k}}-\sqrt{n-\sqrt{k}}\right)^2 = 2n-2\sqrt{n^2-k}$$

Por lo $$\left(\sqrt{n+\sqrt{k}}-\sqrt{n-\sqrt{k}}\right) = \sqrt{2}\cdot \sqrt{n-\sqrt{n^2-k}}$$

Por lo $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2-1}\left(\sqrt{n+\sqrt{k}}-\sqrt{n-\sqrt{k}}\right) = \sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{2}\cdot \sqrt{n-\sqrt{n^2-k}}$$

Así Lo $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2-1}\left(\sqrt{n+\sqrt{k}}-\sqrt{n-\sqrt{k}}\right) = \sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{2}\cdot \sqrt{n-\sqrt{k}}$$

Por lo $$A_{n}-B_{n} = B_{n}\sqrt{2}$$

Por lo $$A_{n} = B_{n}\left(1+\sqrt{2}\right)$$

Por lo $$\displaystyle \frac{A_{n}}{B_{n}} = 1+\sqrt{2}$$

Ahora Pon $\displaystyle n^2-1 = 99\Rightarrow n= 10\;,$ Así obtenemos $$\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{99}\sqrt{n+\sqrt{k}}}{\sum_{k=1}^{99}\sqrt{n-\sqrt{k}}} =\frac{A_{10}}{B_{10}} = 1+\sqrt{2}.$$