Cuando la Regla de L'Hôpital Falla

Question

Yo estaba discutiendo la Regla de L'Hôpital con un Cálculo I estudiante el día de hoy. He mencionado que si el límite obtenido por diferenciar el numerador y el denominador no existe, entonces la Regla de L'Hôpital no nos dice nada sobre el límite original.

Un ejemplo claro de esto es, $$\lim\limits_{ x \to \infty }{ \frac { x+\sin { x } }{ x } } =1.$$ Sin embargo, la Regla de L'Hôpital da $$\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x+\sin { x } }{ x } } =\lim \limits_{ x\rightarrow \infty }{ \frac { 1+\cos { x } }{ 1 } } =\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }{ \left( 1+\cos { x } \right) }, $$ que diverge por oscilación.

Yo no podía llegar con un ejemplo que muestra que si el límite de la LH es infinito, entonces el límite original puede ser finito. Esto nos lleva a estas dos preguntas,

1. Es cierto que un infinito el resultado de la Regla de L'Hôpital no implica un límite infinito?
2. Hay un ejemplo simple donde la LH es infinita, pero el límite es en realidad finita?

Answer 1

La declaración de l'Hospital de la regla se encuentra en Rudin los Principios de Análisis Matemático (página 109):

$5.13$ $\,\,$ Teorema de $\,\,\,\,\,\,\,$ Supongamos que $f$ y $g$ son reales y derivable en $(a,b)$ y $g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b)$, donde $-\infty\leq < b\leq +\infty$. Supongamos que $$ \frac{f'(x)}{g'(x)}\\,\textrm{ como }\,x\a una. $$ Si $f(x)\to 0$ y $g(x)\to 0$ $x\a$ o si $g(x)\+\infty$ $x\a$, entonces $$ \frac{f(x)}{g(x)}\\,\textrm{ como }\,x\a una. $$ El análogo de la declaración es, por supuesto, también es cierto si $x\a b$ o si $g(x)\\infty$ [...]. Tengamos en cuenta que ahora se usa el límite del concepto en el sentido amplio de la Definición de $4.33$.

Parece que lo que $A$ se supone que es un poco ambiguo. Real? Posiblemente infinita? Sin embargo, se puede resolver este enigma con un rápido vistazo a la definición de $4.33$:

$4.33$ $\,\,$ Definición $\,\,\,\,\,\,\,$ Deje que $f$ ser una función real definida en $E\subconjunto \Bbb{R}$. Decimos que $$ f(t)\\,\textrm{ como } \t\a x, $$ donde $A$ y $x$ en la ampliación del número real del sistema, si para cada vecindario $U$ de $Un$ hay un barrio $V$ de $x$ tales que $V\cap E$ es no vacío, y tal que $f(t)\en U$ para todo $t\in V\cap E$, $t\neq x$.

De hecho, $A$ es permitido ser infinito (es en la ampliación del sistema numérico real)! También vemos que Rudin trata los casos de $A = \pm\infty$ en la prueba de la regla de l'Hospital, por lo que si el límite del cociente de los derivados es infinito, el límite original debe haber sido también. Es decir, no hay ningún ejemplo (por no hablar de una simple), donde el límite del cociente de los derivados es infinito, pero el límite original es finito.

Answer 2

El problema puede ser resuelto sin la aplicación de la regla de L'Hospital $$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}x =\lim_{x\to\infty} 1 + \frac{\sin x}x$$

ya que para cualquier valor de $x$, $\sin x$ será de entre $-1$ y $1$, donde $1/x$ valor tiende a $0$

así que la respuesta a esta pregunta es de $1$. sin aplicar la regla de L'Hospital de (L de la regla se aplica cuando el límite es indeterminado y en este caso, no es)

Answer 3

Recuerde la Regla de L'Hôpital estados: Vamos a $c$ finito o infinito. Supongamos que $\lim_{x\c}{f(x)} = \lim_{x\c}g(x) = 0$ (o $\lim_{x\c}{|f(x)|} = \lim_{x\c}{|g(x)|} = \infty$) y $\lim_{x\c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=$ L. Si $g'(x)\neq 0$ cerca $c$ y $\lim_{x\c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = L$, entonces $$ \lim_{x\c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = L. $$ En tu ejemplo, esta condición $\lim_{x\c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = L$ es violado. Así que usted no puede utilizar LH hasta el límite.