Encontrar una función a partir de una serie de fourier

Question

Tomado de Apostol Análisis, se dice, encontrar una función continua que genera la serie de fourier:

$$ \sum_{n} \frac{-1^n}{n^3} \sin(nx) $$

Realmente no tengo idea de cómo solucionar esto, instintivamente traté de solucionar $\langle f,\sin(nx)\rangle = \frac{-1^n}{n^3}$ $\langle f,\cos(nx)\rangle = 0$ y llegó a nada, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Observaciones:

1. $f$ es impar
2. $f$ es continua en a $\mathbb R$, debido a que la serie converge uniformemente. Junto con el 1, esto implica $f(\pi)=0$.
3. $f$ es un polinomio cúbico en $(-\pi,\pi)$, debido a que los coeficientes de Fourier de $x^k$ implicar $1/n^k$ (integración por partes sucede $k$ a veces).

Extraño polinomios cúbicos de fuga en $\pi$ son de la forma $A(x^3-\pi^2 x)$. Hay varias maneras de encontrar a $A$, incluyendo aburrido de integración. Menos aburrido manera es observar que
$$ f'(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}}{n^2}\cos nx$$ es continua en a $\mathbb R$ y $$f'(\pi)= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi ^2}{6}$$ Desde $A(x^3-\pi^2 x)'=A(3x^2-\pi^2)$ evalúa a$2\pi^2A$$x=\pi$,$A=1/12$.