Encontrar un ángulo en una cifra que supone círculos tangentes

Question

El círculo de $A$ toca el círculo $B$ internamente en $P$. El centro de la $O$ $B$ está fuera de $A$. Deje $XY$ ser de un diámetro de $B$ que es también tangente a $A$. Suponga $PY > PX$. Deje $PY$ se cruzan $A$$Z$. Si $Y Z = 2PZ$, ¿cuál es la magnitud de $\angle PYX$ en grados?

Lo que he intentado:

1. Obviamente, el rojo ángulos son iguales, y la naranja ángulos son iguales. Esto le da a $XY \parallel TZ$.
2. $YZ=2PZ$. A partir de esta $XY=3TZ$$O'Z=3OY$. Deje $O'Z=a=O'S$$SZ=\sqrt{2} a$, y también se $O'O=2a$
3. A continuación,$SO=\sqrt{3} a$. Ahora podemos utilizar la trigonometría para encontrar $\angle PYX$ en el triángulo $ZSY$.

Por favor verificar si mi figura es correcta. La solución a esta pregunta es bienvenida, especialmente si es más corto.

Answer 1

Triángulo O'SO encaja en la descripción de un 30-60-90 especial ángulo del triángulo. Por lo tanto, $\angle O'OS = 30^0$

A continuación, $\angle PYX = 15^0$ [de los ángulos en el centro = 2 veces ángulos en la circunferencia]

Answer 2

Sugerencia:

Observe que $\angle PYX=\angle PYO= \angle OPY$$\angle POX=\angle PYO+\angle OPY$, lo $$\angle PYX=\frac{1}{2}\angle POX$$ Por otro lado, $$\tan \angle POX=\frac{|O'S|}{|SO|}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\qquad\implies\qquad \angle POX=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30^{\circ}$$