Homogénea de las formas de grado $$ n $n$ indeterminates más de $\mathbb{Z}$: los que vienen de la norma de un campo de número?

Question

Hay una caracterización de la homogeneidad de las formas de grado $$ n $n$ indeterminates más de $\mathbb{Z}$, que se producen como la norma de algunos algebraica de números de anillo con un adecuado $\mathbb{Z}$-base?

Deje que $K/\mathbb{Q}$ ser un campo de número de grado $n$ con grupo de Galois de $G$. Deje que $\beta = \{y_1, \dots, y_n\}$ se ordenó una base de $\mathcal{S}_K$ más de $\mathbb{Z}$. La norma de $N_\beta(x_1, \dots, x_n) := N_{K/\mathbb{Q}}(x_1y_1 + \dots + x_ny_n)$ es un homogemeous polinomio en $x_1, \dots, x_n$; es invariante bajo la acción de $G$, por lo tanto sus coeficientes de mentira en $\mathbb{Q} \cap \mathcal{S}_K = \mathbb{Z}$. Por supuesto $N_\beta$ depende de $\beta$. Por ejemplo, escoger la base de $\{1, i\}$ de $\mathbb{Z}[i]$ rendimientos de la forma habitual de $x_1^2+x_2^2$, pero recogiendo la base de $\{1,1+i\}$ de los rendimientos de la forma $(x_1+x_2)^2+x_2^2$. Dos formas que provienen de la misma algebraica de números de anillo están relacionados por la acción de $\text{SL}_n(\mathbb{Z})$, $N_\beta(\mathbb{x}) = N_{g\cdot \beta}(g\cdot \mathbb{x})$, donde $\mathbb x = (x_1, \dots, x_n)$. Por lo tanto, para cada número de campo $K$, podemos asociar canónicamente la homogeneidad de la forma $N_\beta(\mathbb x)$, hasta la acción de $\text{SL}_n(\mathbb{Z})$.

El formulario de $N_\beta(\mathbb x)$ satisface unas buenas propiedades:

1. Se divide como un producto de la linealidad de las formas más de $K$ (por la definición de la norma!), de ahí la variedad afín $V$ definida por $N_\beta=0$ sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ es una unión de $n$ hyperplanes.
2. Es distinto de cero en ${\mathbb{Q}^*}^n$, ya que $y_1, \dots, y_n$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$.
3. Satisface "multiplicativo de identidad", tales como el Brahmagupta–Fibonacci de identidad, que se refleja en una ingenua manera la estructura multiplicativa de $K$.

Hay una manera de recoger estas formas fácilmente? En general, ¿qué puede decirse de la clasificación de homogemeous formas de grado $$ n $n$ variables de más de $\mathbb{Z}$?

Muchas gracias!

Answer 1

Lema: Supongamos que usted tiene una forma homogénea de $F$ en $n$ variables y el grado de $n$ sobre $\mathbf{P}$ con las siguientes propiedades:

1. La forma $F$ se divide en factores lineales,
2. $F$ no es cero en $\mathbf{P}^n \setminus (0,0,\ldots,0)$.

Entonces $F$ es un escalar múltiples de una norma formulario.

Supongo que esto es lo que la intención de su segunda condición de todos modos --- tenga en cuenta que $x^2_2$ es distinto de cero en $\mathbf{P}^{\times 2}$, pero no es una norma de la forma. Un pequeño trozo de la notación; para un polinomio $P$, vamos a $Z(P)$ ser la puesta a cero de $P$.

Prueba: Por la propiedad, $F$ contiene un factor lineal

$$H:=x_1, y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n.$$

La absoluta grupo de Galois $G_{\mathbf{Q}}$ actúa sobre el grupo de componentes de cualquier algebraicas variedad de más de $\mathbf{P}$. De ello se sigue que cualquier componente irreducible es definida sobre un campo de número, y así el $y_i$ debe ser algebraicas.

La variedad de $Z(H)$, que es sólo una hyperplane, se determina precisamente por las correspondientes coordenadas hasta escalar múltiples, o, equivalentemente, por el punto correspondiente en el espacio proyectivo. Vamos

$$P = [y_1:y_2: \ldots:y_n] \in \mathbf{P}^{n-1}(\overline{\mathbf{Q}}).$$

La acción de $G_{\mathbf{Q}}$ en $P$ corresponde a la acción de este grupo en el geométricamente irreductible componentes de $Z(F)$ que son conjugado a $H$. Recordemos que $F$ grado $n$. De ello se desprende que la órbita de $P$ ha pedido en más de $n$. Por lo tanto el estabilizador de $P$ índice en más de $n$, y así, por la teoría de Galois, el punto $P$ se encuentra en $\mathbf{P}^{n-1}(K)$ para un campo $K$ de grado en más de $n$. Podemos multiplicar $H$ por un escalar, de manera que los coeficientes de hecho se encuentran en $K$. Si $[K:\mathbf{Q}] = $ n, entonces la órbita llena todos de $Z(F)$, y vemos que $F$ es lineal múltiple de la norma formulario asociado a $H$.

Por otro lado, supongamos que $[K:\mathbf{Q}] < $ n. Entonces el $n$ elementos $y_i$ son linealmente dependientes sobre $\mathbf{P}$ y por tanto $F$ desaparecerán sin un cero racional de punto, violar (2'). $\square$

Para ver que el adjetivo "escalar múltiples" es necesario, tenga en cuenta que $3 x^2_1 + 3 x^2_2$ no es, literalmente, una norma de la forma, porque $3$ no es una norma en $\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$.