La prueba de que $\frac{(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b})^n}{2 ^ n} \to \sqrt{ab}$

Question

Por favor, ayudar a demostrar que: $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b})^n}{2 ^ n}\right) = \sqrt{ab}$$

Answer 1

Es suficiente para demostrar que para todos los $x > 0$ $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{x^{1/n}+1}{2} \right)^n = \sqrt{x}$$ o, equivalentemente, tomando el logaritmo, que $$\lim_{n \to \infty} n (\log(x^{1/n}+1) - \log 2) = \frac12 \log x$$

De hecho, si se demuestra que el primer límite, entonces $$\left( \frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2} \right)^n = b\left( \frac{(a/b)^{1/n}+1}{2} \right)^n \to b\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}.$$

Ahora, llame a $f(t)= \log t$. Recordemos que $$\frac12 = f'(2) = \lim_{t \to 0} \frac{f(2+t)-f(2)}{t}$$ Nuestra idea es poner a $t=x^{1/n}-1$, de hecho es bien conocido que $$\lim_{n \to \infty} x^{1/n}-1=0$$ and moreover, since $x^{1/n}-1 = e^{\log x / n} - 1 \sim \frac{\log x}{n}$ tenemos $$\lim_{n \to \infty} n(x^{1/n}-1) = \log x$$ Por lo tanto $$\lim_{n \to \infty} n (\log(x^{1/n}+1) - \log 2) =$$ $$= \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1) \cdot \frac{\log((x^{1/n}-1)+2) - \log 2}{x^{1/n}-1} = \log x \cdot f'(2) = \frac12 \log x$$ Y esto concluye la prueba.

Answer 2

En primer lugar, observe que: $$\forall n\in\mathbb{N},\frac{\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)^n}{2^n}=\exp\left[n\ln\left(\frac{\exp\left(\frac{\ln(a)}{n}\right)+\exp\left(\frac{\ln(b)}{n}\right)}{2}\right)\right].$$ Además, se tiene: $$\frac{\exp\left(\frac{\ln(a)}{n}\right)+\exp\left(\frac{\ln(b)}{n}\right)}{2}=1+\frac{\ln(ab)}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$ Por lo tanto, de la siguiente manera: $$\ln\left(\frac{\exp\left(\frac{\ln(a)}{n}\right)+\exp\left(\frac{\ln(b)}{n}\right)}{2}\right)=\ln\left[1+\frac{\ln(ab)}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right]=\frac{\ln(ab)}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$ Por lo tanto, se tiene: $$n\ln\left(\frac{\exp\left(\frac{\ln(a)}{n}\right)+\exp\left(\frac{\ln(b)}{n}\right)}{2}\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{\ln(ab)}{2}.$$ Desde $\exp$ es continua en a $\frac{\ln(ab)}{2}$ uno: $$\exp\left[n\ln\left(\frac{\exp\left(\frac{\ln(a)}{n}\right)+\exp\left(\frac{\ln(b)}{n}\right)}{2}\right)\right]\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\exp\left(\frac{\ln(ab)}{2}\right).$$ Finalmente, se tiene: $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)^n}{2^n}=\sqrt{ab}.$$

Answer 3

Usted puede utilizar esto como una sugerencia:

Por $A.M>G.M$;

$(\dfrac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2})^n>(\sqrt{a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}})^n=\sqrt{ab}$

Answer 4

Para el binomio de expansión de la n potencia

$\big(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{2} + \dfrac{\sqrt[n]{b}}{2} \big)^n = \dfrac{\sqrt[n]{a^n b^0}}{2^n} + \dfrac{\sqrt[n]{a^{n-1} b}}{2^n} + \cdots + \dfrac{\sqrt[n]{b^{n-1} a}}{2^n} + \dfrac{\sqrt[n]{a^0 b^n}}{2^n}$

así que el límite

$\lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a + c_0 + \cdots + c_{n-1} + b}{2^n} = 0$

donde $c_0, c_{n-1}$ son costant, por ejemplo,$c_0 = \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{ a}$.