Número de soluciones de $x_1+2x_2+\cdots+kx_k=n$?

Question

Supongamos $n$ ser dado un entero positivo. Entonces la ecuación de Diophantine $x=n$ sólo ha $1$ solución. Simplemente por inspección, he encontrado que la ecuación de Diophantine $x+2y=n$ $\left\lfloor \dfrac{n}{2}+1\right\rfloor$ no negativo soluciones para $(x,y).$
También, de acuerdo con este post la ecuación de Diophantine $x+2y+3z=n$ $\left\lfloor \dfrac{n^2}{12}+\dfrac{n}{2}+1 \right\rfloor$ no negativo soluciones para $(x,y).$

Hay alguna forma cerrada para el número de número entero no negativo soluciones para $(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ de $$x_1+2x_2+3x_3+\cdots+kx_k=n$$ for a given $k\in\Bbb{N}$?

Cómo puedo probar estas fórmulas de rigor?

EDITAR
Después de un muy tedioso cálculo he encontrado que la ecuación de $w+2x+3y+4z=n$ $\left\lfloor \dfrac{n^3}{144}+\dfrac{5n^2}{48}+\dfrac{(15+(-1)^n)n}{32}+1 \right\rfloor$ soluciones.
Esta solución completamente de acuerdo con la aproximación dada por la Rus de Mayo.
Sin embargo, todavía creo que podemos hacer algo más que esto.
Gracias por su valiosa atención.

Answer 1

Como Darij Grinberg, dice, no hay una buena cerrado fórmula para esto. Hay, sin embargo, una bonita aproximación a través del teorema de Schur en la combinatoria. Va como esta.

Las singularidades de la generación de la función $\frac1{(1-t)(1-t^2)\cdots(1-t^k)}$ se encuentran en el círculo unidad en el plano complejo. El parcial de las fracciones de la descomposición de la generación de la función de términos de la forma $\frac\alpha{(1-x/\omega)^{1+\ell}}$ donde $\alpha$ es una constante, $\omega$ es una raíz de la unidad, y $\ell$ es un número natural menor que $k$. El coeficiente de un término es $\alpha\binom{n+\ell}{\ell}/\omega^\ell$, por lo que el término con la mayor multiplicidad hace que la mayor contribución. En este caso, es el de la singularidad a la 1 de la con $\ell=k-1$. A continuación, el coeficiente de $t^n$ en la generación de la función es de aproximadamente \begin{eqnarray*} [t^n]\frac1{(1-t)\cdots(1-t^k)}&=&\alpha\binom{n+k-1}{k-1}+o(n^{k-1})\\ &=&\alpha\frac{n^{k-1}}{(k-1)!}+o(n^{k-1}). \end{eqnarray*} Para evaluar la constante de $\alpha$, sólo se debe multiplicar la generación de la función y el parcial de fracciones de descomposición por $(1-t)^k$ y tomar el límite en 1, lo que resulta en $\alpha=1/k!$. Entonces, Schur la aproximación al número de soluciones de $x_1+2x_2+\cdots+kx_k=n$ es $$\frac{n^{k-1}}{(k-1)!\,k!} .$$