Como en el título.
El Axioma del conjunto Vacío es ofrecido a veces como un axioma fundamental en la ZFC marco (ejemplo), pero a veces no es (porejemplo). Consideraría usted que es una décima canónica axioma de ZFC? Estoy malentendido las cosas?
En caso de que la pregunta es más imprecisa en muy avanzado de las matemáticas: yo estoy pidiendo en el contexto de un curso de introducción a la teoría de conjuntos axiomática.
Gracias por su tiempo!
Como Noé explica, la existencia del conjunto vacío se pueden derivar de los axiomas de infinitud y de separación, por lo que no es estrictamente necesario tener un axioma que dice explícitamente que un conjunto vacío existe. Sin embargo, por la misma razón que no hace daño tener un axioma (en el sentido de que los teoremas podemos probar con y sin el axioma que son el mismo), que es por qué los libros de texto, los autores pueden salirse con la inclusión o no y llamar a la resultante del sistema de ZFC en ambos casos!
Una de las razones para la inclusión de este axioma puede ser que uno está interesado en estudiar lo que sucede si el axioma de infinitud es eliminado de ZFC. En ese caso tendríamos que haber alguna otra forma de garantía que establece existen, y la relación entre el total ZFC y el uno sin el infinito será más clara si uno es un subconjunto de la otra.
Pero en realidad es aún más sutil que eso.
ZFC es la intención de ser utilizados en el marco de la lógica de primer orden, y usual de la lógica de primer orden , implícitamente, se supone que al menos una cosa que existe. En otras palabras, la lógica de primer orden puede resultar $\exists x(x=x)$ sin ningún tipo de conjunto de la teoría de los axiomas. Así que uno no necesita ni siquiera el axioma de infinitud para llevar a cabo Noé argumento de la lógica formal-la separación solo le permitirá demostrar a $\exists z \forall x(x\notin z)$ que dice que un conjunto vacío existe.
Los libros de texto suelen no tomar la consecuencia de esto y formular ZFC sin un vacío axioma. Una razón para esto es que pone una carga adicional sobre el autor para convencer a los estudiantes que "algo " existe", es una lógica de la verdad en lugar de algo que la teoría de las necesidades de suministro. Y es realmente sólo se considera una lógica de la verdad para algo aburrido razones técnicas. No es como si es así por necesidad; es más fácil la construcción de un conjunto de reglas para qué pruebas válidas, es que si nos dejamos de hacer esa suposición.
Otra razón es que es algo de un accidente que la lógica de la verdad "existe algo" significa "existe un conjunto", porque en ZFC todo lo que existe es un conjunto. Pero hay otros estrechamente relacionados con las teorías donde el algo que existe no es necesariamente un conjunto , en particular, en NGB teoría de que podría ser una "clase" en su lugar. En esas teorías de que las necesidades de un axioma a la pretensión de que existe un conjunto, por lo que es conveniente hacer un axioma que una parte de ZFC demasiado, de tal manera que uno puede comparar los sistemas sin ser desviados por irrelevantes las diferencias.
La existencia de un emptyset de la siguiente manera a partir de los otros axiomas. El axioma del Infinito implica, en particular, que existe al menos un conjunto $a$. A continuación, el axioma de Separación entra en juego: suponiendo $a$ es un conjunto, considerar el conjunto $\{x\in a \mid x\not=x \}$. Esto es (es fácil de probar) un conjunto vacío! Con el axioma de Extensionality, cualquiera de los dos conjuntos con los mismos elementos son el mismo conjunto; por lo que razonablemente se puede llamar a esto el emptyset.
Así que no hay necesidad de considerar por separado un axioma de la afirmación de la existencia de la emptyset.
Cuando los axiomas de ZF o ZFC están en la lista, que a menudo incluyen tres "redundante" resultados: el axioma del conjunto vacío, el axioma de la desordenada par y el axioma esquema de comprensión. Cada uno de estos es comprobable sólo mediante el axioma esquema de reemplazo, y que se requiere explícitamente los axiomas en los más débiles de la teoría de Zermelo.
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