Me pregunto por qué mi respuesta es incorrecta.
La pregunta es: John y Steve son miembros de una clase de $20$ de los estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que éstos se vinculen entre sí?
Mi pensamiento era, simplemente, $1$ forma de pareja de Juan y el de Steve y $20 \choose 2$ total de pares para $\frac{1}{190}$. Pero la respuesta correcta es $\frac{1}{19}$. ¿Cómo es que mi método no funciona?
En su enfoque, que busca en todos los posibles pares (de dos elementos y subconjuntos) que se pueden hacer fuera de $20$ objetos. Eso significa que en el método que usted está buscando en ambos pares (Juan, Pedro) y (Juan, Steve) en la misma instancia, mientras que si se divide la clase en parejas, a continuación, para una determinada vinculación de Juan sólo puede aparecer en un par, I. e. Ambos pares (Juan, Pedro) y (Juan, Steve) no pueden coexistir en un determinado emparejamiento. Por eso es que su respuesta es incorrecta.
Hay, de hecho, ${20 \choose 2} = 190$ posible pares, entre el $20$ de los estudiantes. Por lo tanto, si sólo un par, fue elegido al azar entre los estudiantes, la probabilidad de que esta pareja pasó a constar de John y Steve sería $\frac1{190}$.
Sin embargo, la pregunta implica fuertemente (incluso si no es bastante decir de manera absoluta) de que todos los estudiantes están en pares, es decir, que $10$, formando pares. La probabilidad de que uno de estos pares contiene John y Steve resulta ser $10 \cdot \frac1{190} = \frac1{19}$.
Esto es un poco sorprendente resultado, si usted piensa acerca de ello, ya que los pares son elegidos sin reemplazo, y por lo tanto no son independientes.* Por lo tanto, puede no ser del todo obvio que el resultado correcto, deberían obtenerse por simple multiplicación. Una manera de demostrar que esto tiene, de hecho, dar el resultado correcto es por inducción sobre el número de estudiantes.
Sin embargo, en este caso, hay una forma mucho más simple forma alternativa de llegar a la misma solución: basta observar que Juan siempre terminan vinculados con algún otro estudiante, y considerar la probabilidad de que, fuera de la $19$ opciones posibles, que por azar estudiante pasa a ser Steve.
*) De hecho, si el $10$ pares fueron elegidos de forma independiente con la sustitución, la probabilidad de que John y Steve serían emparejados juntos al menos una vez podría no ser $10 \cdot \frac1{190} = \frac1{19}$ sino $1 - \left(1 - \frac1{190}\right)^{10} \approx 0.05140 \approx 1/19.45 $.
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