Puede un cúbicos ecuación tiene tres raíces complejas?

Question

En algún sitio he leído que:

Si $x+ iy$ es una raíz de una ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d=0$, $x-iy$ también es una raíz de la ecuación.

Mi pregunta es:

Puede $k-il$ ser la raíz de esta ecuación si $l\neq 0$?

Si sí, entonces parecería que $k+ il$ también debe ser una raíz, pero en ese caso la ecuación cúbica tendría cuatro raíces que es imposible.

¿Dónde está el error en mi lógica?

($i$ denota $\sqrt {-1}$, y a veces se pronuncia como $iota$.)

Answer 1

Si los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ son reales, entonces la ecuación de $ax^3+bx^2+cx+d=0$, asumiendo $a\ne0$ tiene al menos una raíz real: de hecho, la escritura $$ f(x)=x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} $$ tenemos $$ \lim_{x\a\infty}f(x)=-\infty \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$ por lo que el teorema del valor intermedio proporciona un real valor de $r$ tal que $f(r)=0$.

Puesto que la ecuación tiene más de tres distintas raíces, se sigue que no puede tener tres diferentes complejo nonreal raíces.

Si $a$, $b$, $c$ y $d$ no se supone que es real, pero sólo complejo, entonces sin duda es posible: considerar la posibilidad de $$ (x-i)(x-2i)(x-3i)=0 $$

Answer 2

Me gustaría relacionar algo que podría ser útil a su actual nivel de estudio, además de las otras respuestas.

Comenzar con una observación que podría hacerse a sonido expresivo, pero resulta ser muy profunda: dado que i y −i son tanto la raíz cuadrada de -1, ¿cómo saber cual es cual? Después de todo, comparten una propiedad que es su característica definitoria!

La respuesta es que no se puede. No sólo el etiquetado arbitraria, pero se puede cambiar sin cambiar nada.

Así que, en general, cualquier momento de empezar con puros números reales (por ejemplo, los coeficientes y constantes), y realizar el normal famialiar operaciones aritméticas, entonces cualquier momento usted termina con números complejos, debe tener una simetría tal que usted puede cambiar todos los (i)s y (−i)s sin cambiar nada.

Un caso especial de esto es lo que estás recordando: que en toda raíces complejas de un polinomio debe venir en pares (a±bi).

Answer 3

Su argumento es casi correcta de la prueba del hecho de que una ecuación cúbica puede tener tres complejos (no real) de las raíces. La única cosa que no tienen en cuenta las múltiples raíces: no tratar el caso en el que la tercera raíz es $x+iy$ o $x-iy$; es decir, coincide con uno de los otros dos raíces.

Este caso es imposible que una ecuación cúbica con el real $a,b,c,d$, pero el teorema de que usted cita no es suficiente para probar esto. Usted necesita un argumento diferente en este caso. El más simple resultado puede usar para excluir es la siguiente (un caso especial de Viète fórmulas):

si $z_1,z_2,z_3$ (contadas con multiplicidad) son las raíces de una ecuación cúbica $ax^3+bx+cx+d=0$,$z_1+z_2+z_3 = -\frac{b}{a}$.

Answer 4

Deje $z^*$ denota el complejo conjugado de z. Tenemos $(z_1z_2)^*=z_1^*z_2^*$ $(z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*.$ $z^*=z$ real $z.$ por lo Tanto, para el real $a,b,c,d$ hemos $$0=az^3+bz^2+cz+d\iff 0=0^* =(az^3+bz^2+cz+d)^*=$$ $$=a(z^*)^3+b(z^*)^2+c(z^*)+d.$$ So if $z_,z_2$ are non-real zeroes of $az^3+bz^2+cz+d ,$ with real $a,b,c,d$ then so are $z_1^*$ and $z_2^*.$ If $z_2\ne \{z_1,z_1^*\},$ this dar al menos 4 ceros para el cúbicos.