¿Cómo encontrar la solución para $\frac{2x-3}{x+1} \leq 1$?

Question

Tengo la siguiente desigualdad:

$$\frac{2x-3}{x+1}\leq1$$

por lo tanto, considerando $x \neq -1$, empecé a multiplicar $x+1$ ambos lados:

$$2x-3\leq x+1$$

luego resta $x$ ambos lados:

$$x-3\leq1$$

y luego en Resumen $3$ ambos lados:

$$x\leq4$$

Por lo tanto, mi solución para $x\neq-1$ es:

$$(-\infty,4]$$

Pero la solución del libro es:

$$(-1,4]$$

¿Qué hice mal?

Answer 1

Para preservar el $\:\le\:$ que debe multiplicar por $\rm\ (x+1)^2\ $ % no $\rm\ x+1\:,\:$a saber

$\rm\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \displaystyle\frac{2x-3}{x+1}\ \le\ 1$

$\rm\quad\quad\iff\quad \displaystyle\frac{x-4}{x+1}\ \ \le\ 0 $

$\rm\quad\quad\iff\quad (x+1)\ (x - 4)\ \le\ 0,\quad x\ne -1 $

$\rm\quad\quad\iff\quad\ x\ \in\ (-1,4\:] $

Answer 2

El problema es cuando se multiplican ambos lados por $x+1$. Recuerde que cuando usted multiplicar una desigualdad por un número negativo que los cambios de signos. Esto significa que se tiene que dividir en casos de:

Caso 1: $x+1>0$. A continuación, llegamos $$2x-3\leq x+1$$ Por el mismo razonamiento que se presente por encima nos encontramos con $x\leq 4$. Vuelva a escribir la desigualdad $x+1>0$$x>-1$. La combinación de este con $x\leq 4$ ver $x\in (-1,4]$.

Caso 2: $x+1<0$. A continuación, obtenemos $$2x-3\geq x+1$$ (notice that since $x+1<0$ the sign had to switch directions) We then solve to find $x\geq 4$. Since for this case we also had $x+1<0$, which is the same as $x<-1$ we conclude no such $x$ existe. (Un número no puede ser menor que 1 y mayor que 4)

Espero que ayude,

Answer 3

Como otros han mencionado, multiplicar por $x+1$ te obliga a considerar los casos desde el principio. En su lugar, puede escribir $\frac{2x-3}{x+1} \leq 1$ $\frac{2x-3}{x+1} -1 \leq 0$. Esto simplificará en $\frac{p(x)}{q(x)} \leq 0$ y considerar Cuándo una fracción es negativa.