¿Son estos functors del adjoint de la categoría de monoids con homomorphisms facilitándole?

Question

Hacer el olvidadizo functors $G_H:\bf Monoid \to \bf Semigroup^1$ $G_O:\bf Semigroup^1 \to \bf Semigroup$ han izquierda y/o derecha adjoints? Aquí $\bf Semigroup$ es la categoría de semigroups con semigroup homomorphisms, $\bf Semigroup^1$ es la categoría de monoids (semigroups con identidad) con semigroup homomorphisms, y $\bf Monoid$ es la categoría de monoids con monoid homomorphisms (la imagen de la identidad es la identidad).

Una interesante functor $F_H:\bf Semigroup^1 \to \bf Monoid$ está dado por el functor que deja la monoid objetos no cambia y se modifica el homomorphisms mediante la sustitución de la imagen de la identidad la identidad del destino monoid. Se esta a la izquierda o a la derecha functor adjunto a $G_H$?

Un buen functor $F_O:\bf Semigroup \to \bf Semigroup^1$ es la que deja monoids sin cambios, y colinda con un elemento de identidad para semigroups falta un elemento de identidad. El homomorphisms se extienden por la cartografía de los recién adoint elemento de identidad para el elemento de identidad de la meta monoid. Se esta a la derecha o izquierda functor adjunto a $G_O$, o ambos?

Un conocido functor $F:\bf Semigroup \to \bf Monoid$ es el que se adhiere a cada semigroup una identidad (independiente de si ya tiene uno), y se extiende la homomorphisms mediante la asignación de los recién adoint elemento de identidad a los recién adjunto elemento de identidad de la meta monoid. He visto la asunción (declaración) de que esta es la izquierda adjunto de la olvidadizo functor. Es esto correcto?

Answer 1

Functor $F\circ G_{O}:\mathbf{Semigroup}^{\mathbf{1}}\rightarrow\mathbf{Monoid}$ sirve como adjunto a la izquierda de functor $G_{H}:\mathbf{Monoid}\rightarrow\mathbf{Semigroup}^{\mathbf{1}}$.

¿Functor $G_{O}:\mathbf{Semigroup}^{\mathbf{1}}\rightarrow\mathbf{Semigroup}$ tiene un adjunto a la izquierda? Digamos que tiene y lo vamos a denotar como $K:\mathbf{Semigroup}\rightarrow\mathbf{Semigroup}^{\mathbf{1}}$. A continuación, la composición de la $F\circ G_{O}\circ K:\mathbf{Semigroup}\rightarrow\mathbf{Monoid}$ debe servir como adjunto a la izquierda de $G=G_{O}\circ G_{H}:\mathbf{Monoid}\rightarrow\mathbf{Semigroup}$. Esto de acuerdo a la regla de $\left(G_{O}\circ G_{H}\right)^{ad}=G_{H}^{ad}\circ G_{O}^{ad}$. A continuación, $F$ $F\circ G_{O}\circ K$ debe ser isomorfo functors (tanto a la izquierda adjoints de $G$). Sin embargo, si usted comienza con un objeto de $S\in\mathbf{Semigroup}$ no tener identidad y de un número finito de conjunto subyacente, a continuación, $K\left(S\right)$ debe tener al menos $1$ elemento más (la falta de identidad debe ser 'añadido') y $F\circ G_{O}\left(K\left(S\right)\right)=F\left(K\left(S\right)\right)$ será a su vez ha $1$ elemento más de $K\left(S\right)$ (de nuevo una identidad es agregado). A continuación, $F\circ G_{O}\left(K\left(S\right)\right)=F\left(K\left(S\right)\right)$ tiene al menos $2$ elementos de más de $S$, en contraste con $F\left(S\right)$ que tiene exactamente $1$ elemento más. Esto demuestra que los functors no ser isomorfos. La conclusión es que el $G_{O}:\mathbf{Semigroup}^{\mathbf{1}}\rightarrow\mathbf{Semigroup}$ no tiene a la izquierda adjunto.

Answer 2

El conocido functor $F: \bf Semigroup \to \bf Monoid$ es la izquierda adjunto para los desmemoriados functor $G: \bf Monoid \to \bf Semigroup$. A ver que $\hom(F(X),Y) \equiv \hom(X,G(Y))$ natural en las variables$X$$Y$, de forma explícita escribiendo las naturales transformaciones $\varphi$ $\psi$ inversa de cada uno de los otros ayuda.

• Para cada semigroup homomorphism $g:X\to G(Y)$, el monoid homomorphism $\psi(g):F(X)\to Y$ mapas de la adjoint elemento de identidad para el elemento de identidad, y por lo demás idéntico al $g$.
• Para cada monoid homomorphism $f:F(X)\to Y$, el semigroup homomorphism $\varphi(f):X \to G(Y)$ es la restricción de $f$$X$.

Las composiciones $\varphi\circ \psi$ $\psi \circ \varphi$ son tanto las identidades.

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Si nos explícitamente a explicar las transformaciones correspondientes a$\varphi$$\psi$$F_H$$G_H$, $\psi \circ \varphi$ es una identidad, sino $\varphi\circ \psi$ es sólo una proyección en lugar de una verdadera identidad (semigroup homomorphism obtener proyecta monoid homomorphisms).

Si nos explícitamente a explicar las transformaciones correspondientes a$\varphi$$\psi$$F_O$$G_O$, $\varphi\circ \psi$ es una identidad, sino $\psi \circ \varphi$ es sólo una proyección en lugar de una verdadera identidad (semigroup homomorphism obtener proyecta monoid homomorphisms) al $X$ no es un monoid.

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Como Martin Brandeburgo, escribió en un comentario, no está claro si $F_H$ $F_O$ son functors. De hecho, no se functors, porque $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ falla.

Para $F_H$ mira $\begin{matrix} & f & & g & \\ & & * & \longrightarrow & * \\ * & \longrightarrow & * & \longrightarrow & * \\ * & \longrightarrow & * & {}^{\underline{\quad}\nearrow} \end{de la matriz}$. Tenemos $\begin{matrix} & F_H(f) & & F_H(g) & \\ & & * & \longrightarrow & * \\ * & {}^{\underline{\quad}\nearrow} & * & \longrightarrow & * \\ * & \longrightarrow & * & {}^{\underline{\quad}\nearrow} \end{de la matriz}$, por lo que $\begin{matrix} F_H(g) \circ F_H(f)\\ \begin{matrix} * & \longrightarrow & * \\ * & \longrightarrow & * \end{de la matriz}\end{matriz}$.

Pero $\begin{matrix} & g \circ f & * \\ * & \longrightarrow & * \\ * & {}^{\underline{\quad}\nearrow} \end{de la matriz}$, por lo que tenemos $\begin{matrix} F_H(g \circ f)\\ \begin{matrix} * & \longrightarrow & * \\ * & {}^{\underline{\quad}\nearrow} & * \end{de la matriz}\end{matriz}$. Por lo tanto $F_H(g) \circ F_H(f)$ $F_H(g \circ f)$ son diferentes.

Aquí, la vertical, las estrellas de "describir" específicos semilattices (conmutativa idempotente semigroups), donde el resultado de una multiplicación es el menor de los dos involucrados estrellas (es decir, el encuentro o la mayor cota inferior). Por lo tanto el elemento de identidad está dada por la máxima estrella en cada caso. Las flechas "describir" específicos homomorphisms.

Para $F_O$ mira $\begin{matrix} & f & & g & * \\ {\scriptsize\begin{matrix}* \quad *\\*\\ \end{de la matriz}} & \longrightarrow & * & \longrightarrow & * \end{matriz}$. The leftmost semilattice is missing an identity element, hence $F_O$ te adjunto uno. Tenemos $\begin{matrix} & F_O(f) & & F_O(g)\\ * & {}_{\overline{\;\cdot\;}\searrow} & & & * \\ {\scriptsize\begin{matrix}* \quad *\\*\\ \end{de la matriz}} & \longrightarrow & * & \longrightarrow & * \end{matriz}$, por lo que $\begin{matrix} F_O(g) \circ F_O(f) \\ \begin{matrix} * & {}_{\overline{\;\cdot\;}\searrow} & * \\ {\scriptsize\begin{matrix}* \quad *\\*\\ \end{de la matriz}} & \longrightarrow & * \end{matriz}\end{matriz}$.

Pero $\begin{matrix} & g \circ f & * \\ {\scriptsize\begin{matrix}* \quad *\\*\\ \end{de la matriz}} & \longrightarrow & * \end{matriz}$, por lo que tenemos $\begin{matrix} F_O(g \circ f) \\ \begin{matrix} * & \longrightarrow & * \\ {\scriptsize\begin{matrix}* \quad *\\*\\ \end{de la matriz}} & \longrightarrow & * \end{matriz}\end{matriz}$. Por lo tanto $F_O(g) \circ F_O(f)$ $F_O(g \circ f)$ son diferentes.