Diferentes tipos de dominios $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ en EDPs

Question

En PDEs leo a menudo cosas como:

Deje $\Omega$ ser un almacén de

• De Lipschitz o
• $C^1$ o
• $C^2$ o
• $C^\infty$

dominio

Pero no tengo ni idea de lo que esto significa en la vida real. Entiendo que un $C^0$ dominio no tiene esquinas, así que no hay ángulos de 90 grados. ¿Qué hacen los de arriba de los diferentes tipos de dominios parecen intuitivamente? ¿Qué debe hacer un auto-respeto de la PDE persona sabe acerca de estas cosas?

Leí en alguna parte que usted puede aproximar cualquier dominio con un $C^\infty$ dominio. ¿Es esto cierto? Más detalles se agradece.

Answer 1

En 2D, alguna heurística ejemplos:

$C^{\infty}$-dominio: disco

De Lipschitz/$C^{0,1}$-dominio: Pacman, en forma de estrella nonconvex polígono, polígono convexo

$C^{1}$-dominio: considere la posibilidad de un dominio, cuando a nivel local visto, una parte de la frontera se parece a la forma de pegar el gráfico de $x^2$ $-x^2$ juntos en el origen. El resto de la frontera es sólo suave. Como se puede ver el derivado de la $x^2$ $-x^2$ está de acuerdo en el origen, pero no la segunda derivada.

$C^{2}$-dominio: similar con $C^{1}$-dominio, sólo pegar el gráfico de $x^3$ $-x^3$ juntos en el origen, la curva no es $C^2$.

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La regularidad del dominio juega un papel importante en la elíptica en la regularidad de un Sobolev función: $$ \|u\|_{W^{2,p}(\Omega)}\leq \| \Delta u\|_{L^p(\Omega)} $$ al $\Omega$ $C^{1,1}/C^2$ o convexa. En otras palabras, la ecuación de Poisson $-\Delta u = f$ valor en la frontera problema puede obtener una periodicidad de levantamiento de la 2 a partir de los datos $f$, es decir, la debilidad de la diferenciabilidad va hasta por 2.

• Un contraejemplo en nonconvex de dominio: la regularidad de elevación no es cierto ya. Considerar en el Pacman de dominio $\Omega$ parametrizadas usando coordenadas polares: $$ \Omega = \{(r,\theta): 0<r<1, 0<\theta<\pi/\alpha\} $$ con $1/2<a<1$ a continuación, $$u = (1-r^2)r^{\alpha}\sin(\alpha \theta)$$ resuelve la homogeneidad de las fronteras problema de Dirichlet: $$ \begin{aligned} -\Delta u &= (4\alpha+4)r^{\alpha}\sin(\alpha \theta)\quad \text{ in } \Omega \\ u &= 0\quad \text{ on } \partial \Omega \end{aligned} $$ El lado derecho datos en $L^p$, pero $u\notin W^{2,p}$ de su derivada segunda muestra fuerte singular comportamiento cerca del origen. Si ampliamos el Pacman para el disco completo, tal solución no estar ahí para el valor $$\lim_{\theta\to 0^+} u(r,\theta) = \lim_{\theta\to 2\pi^-} u(r,\theta)$$

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Dudo que podría aproximar CUALQUIER conjunto abierto por $C^{\infty}$-suave dominio, ya que simplemente debemos de introducir la definición de los límites de este conjunto abierto en el sentido de Lebesgue. Para el dominio de que es al menos de Lipschitz creo que la aproximación es cierto, si estamos hablando de pointwise límite.

Answer 2

Estos se refieren a la suavidad de la frontera, $\partial \Omega$.

Si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es abierto y acotado, podemos decir $\partial \Omega$ $C^k$ si para cada punto $\xi \in \partial \Omega$, $\exists r > 0$ y un $C^k$ función de $\psi : \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

$$ \Omega \cap B_r(\xi) = \{ x \in B_r({\xi}) \, | \, x_n > \psi(x_1,\ldots,x_{n-1}) \} $$

Para $C^{\infty}$ o dominios de Lipschitz para sustituir la con $C^k$ en la definición.

Intuitivamente, se toma una bola alrededor de cualquier punto sobre la línea de frontera y transformar la parte del dominio de la pelota a la mitad superior del plano con un $C^k$ función.