¿Hay algo de malo en esta propuesta de prueba de la irracionalidad de la constante de Euler?

Question

Dejemos que $\{\lambda_n\}$ sea la secuencia dada por $H_n - \ln n$ . Afirmamos que $\lambda_n$ es irracional para cada número entero $n>1$ y lo justifica con el siguiente argumento:

Supongamos que $\lambda_k$ es racional para algún número entero $k>1$ tal que $H_k - \ln k = p/q$ donde $p$ y $q$ son números enteros.

Reordenando lo anterior llegamos a $H_k - p/q = \ln k$ lo que implica que $\ln k$ es racional ya que $H_k$ es racional. Pero sabemos que $\ln k$ es irracional para todos los enteros $k>1$ por lo que llegamos a una contradicción.

Por lo tanto, $\lambda_n$ es irracional para todos los enteros $n>1$ . Por lo tanto, el límite como $n$ tiende al infinito es irracional, y hemos terminado.

Answer 1

Se puede tener un límite racional de una secuencia de todos los números irracionales. Consideremos por ejemplo $\sqrt{2{\sqrt{2{\sqrt{2\ldots}}}}} = 2$

Answer 2

Por ejemplo, $$ \lambda_n := e - \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} $$ son todos números irracionales, pero su límite es cero.

Answer 3

Estás afirmando implícitamente que el conjunto de los números irracionales es cerrado en $\mathbb R$ que no lo es. De hecho, su cierre es $\mathbb R$ (es un subconjunto denso), es decir, todo número real es el límite de una secuencia de números irracionales.