¿Automorfismos exótica del grupo fundamental de una curva?

Question

Hace un rato, J. Ellenberg se llevó el siguiente problema mi atención.

Si $G$ es un residual finito grupo, vamos a $\widehat G$ ser su profinite finalización. Deje $S$ ser una superficie cerrada de género $g \geq 2$, y deje $\pi$ ser su topológico grupo fundamental. Deje $\mathrm{Mod}(S)$ ser la clase de asignación de grupo de $S$.

Hay homomorphism $\widehat{\mathrm{Mod}(S)} \to \mathrm{Out}(\widehat \pi)$. Es este mapa surjective?

En otras palabras, ¿el geométrica grupo fundamental del espacio de moduli surject el exterior de automorfismos de la geometría del grupo fundamental de la curva?

Edit: Como Jordania puntos, el mapa no es surjective. Entonces, la pregunta es:

Lo que es el cierre de la imagen de $\mathrm{Mod}(S)$$\mathrm{Out}(\widehat \pi)$?

O, más precisamente, de Henry:

Como Jordania, explica, hay un mapa de $\mathrm{Out}(\widehat \pi) \to \mathrm{Sp}_{2g}(\widehat{\mathbb{Z}}) \to \widehat{\mathbb{Z}}^\star$

Es el cierre de la imagen de $\mathrm{Mod}(S)$ $\mathrm{Out}(\widehat \pi)$ la preimagen de 1 y -1?

Answer 1

Sólo un no-pensamiento-hacia fuera del pensamiento:

Para cualquier grupo simple finito $S$, considerar el conjunto de mapas de $\pi$ $S$hasta conjugacy. Ahora, $Out(\hat{\pi})$ actúa en este conjunto. Ahora considere la composición de esta acción con la permutación de caracteres, se puede obtener un carácter $f(S)$ $Out(\hat{\pi})$ valorado en $\pm 1$. [Si $S$$\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$, creo, pero no comprobar que el carácter correspondiente es el determinante formado con los residuos cuadráticos símbolo de mod $p$," si eso tiene sentido.]

No tengo idea de como la imagen del mapa de $F = \prod_{S} f(S)$, pero parece plausible para mí que es incontable. Por otro lado, desde la $Out(\pi)$ es finitely generado, la restricción de $F$ a debe tener imagen finita. (Leve aclaración: restringir el producto a través de $S$ a nonabelian finitos simples grupos, ya que el abelian queridos proporcionar ninguna información nueva).

Answer 2

Primero de todo, esta pregunta vino a mí (o a alguien con las iniciales de mi nombre) a través de la Marca de Kisin, así que no puede reclamar el crédito (y por todo lo que sé es que vino a él de otra parte.)

Segundo: hay una evidente obstrucción a surjectivity. Es decir, el mapa

hat{Mod(S)} -> Sp_{2g}(Zhat) --det--> Zhat^*

tiene la imagen de Z^*, es decir, +-1. Por otro lado,

(Pihat) -> Sp_{2g}(Zhat) --det--> Zhat^*

es surjective. Por lo que el mapa de preguntar acerca de es definitivamente no surjective. La pregunta es si, en cierto sentido, "esta es la única manera de que el mapa no se surjective." Ya que no tienen un significado preciso en mente para la frase entre comillas, uno podría decir "¿qué es el cierre de la imagen de la asignación del grupo de clase en(pihat)?"

Por cierto, hay un topológico prueba de que(pihat) -> Zhat^* es surjective? La única prueba de que sé es que si escribes una curva algebraica X más Q, las imágenes de Frobenii en(pi_1^{et}(X_Qbar)) dará automorfismos de pihat con un montón de diferentes determinantes. Aparte de esto no sé cómo construir un único elemento de Salida(pihat) cuyo determinante no es +-1!