Por favor, permítanme resumir el método por el cual L. Euler resolvió el Problema de Basilea y de cómo se encuentra el valor exacto de $\zeta(2n)$$n=13$. Euler utiliza el producto infinito
$$
\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \Big(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\Big) ,
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Newton identidades y la (Taylor) Expansión de la Serie (en $x=0$) de la función seno dividido por $x$, para llegar a
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1 - \frac{x^2}{\pi^2} \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{n^2}) + x^4(...) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - ...
$$
Al restar 'uno' de ambos lados, lo que equivale al $x^2$ lo que se refiere a cada uno de los otros y multiplicando ambos lados por $ - \pi^2$, se encuentra que
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\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.
$$
Cuando vi por primera vez esta prueba y la forma en que fue extendido para encontrar los valores de los demás, incluso zeta-constantes, yo no podía ayudarme a mí mismo pensando: "¿Cómo podría este método ser fortalecidos para encontrar los valores de los impares zeta-constantes?" (Y, un poco más tarde, "¿por qué no se ha hecho esto antes?")
Empecé a buscar una apariencia similar infinito producto, sólo ahora me he centrado en uno de la forma $$ \displaystyle f(x) = \prod_{n=1}^{\infty} \Big(1-\frac{x^a}{k^3 \cdot p}\Big) $$ (para algunos $ a \in \mathbb{N} , q \in \mathbb{R} $). Después de un rato me topé con este sitio web y fijado mis ojos en la ecuación (27). Si tomamos $n=3$, Prudnikov et al. nos dicen que $$ \prod_{n=1}^{\infty} \Big(1-\frac{x^3}{k^3}\Big) = - \frac{1}{x^3} \cdot \prod_{k=1}^{2} \frac{1}{\Gamma(-e^{2/3 \pi i k} \cdot x)}. $$ Ahora, pensé que si podíamos usar Newton Identidades de nuevo en el lado izquierdo de la ecuación y averiguar lo que la Expansión en Series de Taylor de la mano derecha sería, podríamos averiguar cuál es el valor exacto de Apery Constante y otros extraños zeta-constantes sería. En esta respuesta por Robert Smith, me dijeron que la Expansión de la Serie. Así tenemos $$ 1 - x^3(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + ... + \frac{1}{n^3}) = -1 - 2 \cdot \gamma x - 2 \gamma^2 x^2 + \frac{1}{6}x^3(-8\gamma^3 - \psi^{(2)} (1)) - x^4(...) $$ Observe que en el lado izquierdo sólo tenemos 'uno menos de un término con un $x^3$ coeficiente', mientras que en el otro lado vemos "minus one plus $x$, $x^2$, $x^3$ coeficientes con sus términos". Esto es importante, ya que probablemente responde a la pregunta ¿por qué la siguiente no funcionará, pero no sé por qué, y realmente me gustaría saber.
Supongo que sabes lo que voy a intentar hacer ahora. Comparamos el $x^3$ términos el uno con el otro, establecer $x=1$, se multiplica por menos uno y 'buscar' que $$ \zeta(3) = \frac{1}{6}(8\gamma^3 + \psi^{(2)} (1)). $$ Al combinar esto con el ya conocido resultado $$ \zeta(3) = -\frac{1}{2} \psi^{2}(1), $$ nos 'buscar' que $$ \zeta(3) '=' \gamma^3. $$ Obviamente, esto está mal. Apery constante es mayor que uno, y este valor es claramente menor que uno. Podría alguien por favor elaborar uno donde me salió mal? Y ¿alguien tiene alguna sugguestions y/o ideas relacionadas con la discusión de arriba, con las que podíamos encontrar "mejores" valores para Apery Constante y el otro impar zeta constantes? (Por ejemplo, señalando una similar infinito producto de la relación, y demostrando que la infinidad de producto tiene una mejor Expansión de la Serie?) O alguien podría señalar a mí por qué este enfoque para encontrar la mejor forma cerrada de las representaciones de estas constantes evidente que no va a conducir a ningún resultado?
Gracias de antemano,
Max Muller
(Moderadores: Si usted encuentra cualquier error de ortografía o errores gramaticales errores, siéntase libre de corregirlos. Para el resto: $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante, y que asciende aproximadamente a $0.5772$. El $\psi^{(2)}(x)$ representa la segunda logarítmica deriviative de la Gamma-función. Como de costumbre, la Wikipedia es una muy buena referencia para este tipo de cosas.)
