Función compuesta

Question

Deje $f(x) = \frac1{(1-x)}$.

Definir la función de $f^r$$f^r(x) = f(f(f(...f(f(x)))))$.

Encontrar $f^{653}(56)$.

Lo que he hecho:

Empecé con i=1,2,3 y notó que el siguiente patrón: $$f^r(x)= \left\{ \begin{array}{c} \frac1{1-x}, when \ r\equiv 1\pmod 3 \\ \frac{x-1}x, when \ r\equiv 2\pmod 3 \\ x, \ when \ r\equiv 0\pmod 3 \end{array} \right. $$

Como $653\equiv 2\pmod 3$, $\\$ $f^{653}(56) = \frac{55}{56}$

PERO, ¿cómo puedo demostrar que estoy en lo correcto? Por inducción? No sé qué hacer, entonces, cuando me vaya de$r$$r+1$.

Podría usted por favor compartir conmigo su razonamiento en la resolución de este problema?

PS: Este problema es del libro "Cómo pensar como un matemático" por Kevin Houston.

Answer 1

La conclusión $f^3(x)=x$ $(=f^0(x))$ se aplica lo que $x$ es.

Utiliza inducción para mostrar que $r$ $f^{3r+s}(x)=f^s(x)$

Answer 2

El ingrediente que eres que falta es el significado preciso de la congruencia modulo 3. Desde $653=3k+2$, donde el valor particular de $k$ no nos preocupa y desde $f^3(x)=x$, tiene $f^{653}(x)=f^{3k+2}(x)=(f^3)^k[f^2(x)]$; pero puesto que $f^3$ es la identidad, su k-fold iterar es identidad y sólo podemos borrar esa parte de la expresión: $f^{653}(x)=f^2(x)$ y listo.