Evaluación de $\int_0^\infty \sqrt x e^{-x^3} dx$

Question

Quiero evaluar:

$$\int_0^\infty \sqrt x e^{-x^3} dx$$

Supongo que debería utilizar la integración por partes, pero como no se me da bien, no puedo ir más allá.

Answer 1

Mejor utilizar la sustitución:

$$x^{\frac{3}{2}} = u$$

$$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}dx = du$$

Esto da

$$\int\limits_0^\infty {{e^{ - {{\left( {{x^{3/2}}} \right)}^2}}}\sqrt x dx} $$

$$\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty {{e^{ - {u^2}}}du} = \frac{2}{3}\frac{{\sqrt \pi }}{2} = \frac{1}{3}\sqrt \pi $$

Answer 2

Usando una sustitución ligeramente diferente a la de Peter, $u = x^3$ obtenemos una respuesta en términos de $\Gamma$ : $$ \begin{align} \int_0^\infty \sqrt x e^{-x^3} dx &=\int_0^\infty u^{1/6}e^{-u}\frac13u^{-2/3}\;\mathrm{d}u\\ &=\frac13\int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u}\;\mathrm{d}u\\ &=\frac13\Gamma\left(\frac12\right)\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{3} \end{align} $$