matriz ecuación $(A-B)CA=B$

Question

ser de que $A,B,C$ $n\times n$ matrices con entradas reales tales que $A$ es invertible. Si $(A-B)CA=B$ mostrar que $AC(A-B)=B$.

alguna idea??

Answer 1

Que $Q = A-B$. Desde $QCA=B = A-Q$, $Q(CA+I)=A$, y por lo tanto es invertible $Q$. Ahora $C = Q^{-1} B A^{-1} = Q^{-1}(A-Q)A^{-1} = Q^{-1} - A^{-1}$, que $AC(A-B) = A(Q^{-1} - A^{-1}) Q = A - Q = B$.