¿Qué aspecto tienen los polinomios en el plano complejo?

Question

Me cuesta visualizar el teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio tiene al menos un cero, superficialmente sé que esto es cierto ya que todo polinomio debe tener un cero imaginario o un cero real, pero ¿cómo visualizo esto en el plano complejo?

Por ejemplo si tenemos un polinomio real, sabemos que es cero cuando cruza el eje x esto es porque $y = 0$ Sin embargo, si $f(z) = 0$ entonces debe ser el caso que $f(z) = w = u+iv = 0+i0=0$ por lo que cada cero en $f(z)$ ¿pasa el origen? Eso no tiene sentido para mí, ¿qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Soy nuevo en el Análisis Complejo pero esta es la impresión que tengo hasta ahora.

Funciones de la forma $ f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} $ puede considerarse como una "deformación" o "distorsión" de un Plano Complejo.

De hecho, las funciones complejas que se comportan mejor son exactamente las mismas que los mapeos conformes de un plano.

Teniendo en cuenta esto, un Polinomio no es más que una forma específica de distorsionar el Plano Complejo regular.

En primer lugar, veremos el Plano Complejo regular. Observando que todo es simplemente creciente en valor de manera uniforme a medida que nos alejamos del Origen.

Tomando un polinomio de 2º grado vemos que el resultado es muy diferente.

La primera lista muestra los coeficientes, representados en forma de puntos rojos.

La segunda lista muestra las raíces, representadas como puntos azules.

Obsérvese cómo las Raíces parecen actuar como el centro de un vórtice arremolinado que "succiona" el resto del Plano.

El polinomio ha "deformado" el Plano Complejo de tal manera que los dos puntos correspondientes a las dos raíces se han convertido en singularidades y polos.

Si está familiarizado con la física, esto es muy similar a los modelos de dipolos magnéticos. Véase, por ejemplo: ¿Por qué el gráfico de $e^{1/z}$ ¿parece un dipolo?

Aquí hay más ejemplos de diagramas de flujo de polinomios de grado 0 a 7.

Como puedes ver, empiezan a formar un círculo alrededor del origen. (Aunque ten en cuenta que las Raíces de Polinomios con Coeficientes distintos de uno no se comportan necesariamente así).

Tenga en cuenta que también existe otro método (¿más popular?) para visualizar funciones complejas: https://mathematica.stackexchange.com/questions/7275/how-can-i-generate-this-domain-coloring-plot .

Y finalmente aquí está el código de Mathematica que usé para generar esto:

CtC[f_] := Column[{
range = 5;
c = CoefficientList[f, z],
r = List @@ NRoots[f == 0, z][[All, 2]],
z = (x + I y);
Style[
 Labeled[
  Show[
   StreamPlot[{Re[f], Im[f]}, {x, -range, range}, {y, -range, 
     range}, PlotRange -> range, AspectRatio -> Automatic, 
    ImageSize -> 300, StreamPoints -> Fine],
   ListPlot[
    {Transpose[{Re[r], Im[r]}], Transpose[{Re[c], Im[c]}]}, 
    Axes -> False,
    PlotRange -> {{-range, range}, {-range, range}}, 
    AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> Full,
    PlotStyle -> {Directive[Blue, PointSize[Large]], 
      Directive[Red, PointSize[Large]]}]
   ],
  Row[{"Stream Plot of ", f // TraditionalForm}], Top],
 Gray, FontFamily -> {"Calibri", 14}],
 Clear[z, c, r]
}];

Actualización:

Como parece que a la gente le gustan los Stream Plots, he retocado un poco el aspecto visual.

Las Raíces son ahora puntos rojos y los Coeficientes puntos grises.

Los dos últimos son también ejemplos de Polinomios con Coeficientes distintos de 1.

Actualización del código de Mathematica:

CtC[f_] := Column[{
" ",
range = 5;
c = CoefficientList[f, z];
r = List @@ NRoots[f == 0, z, PrecisionGoal -> 1][[All, 2]];
Style[Column[{Row[{" ", c, " "}], Row[{" ", r, " "}]}], Gray, 
 FontFamily -> {"Calibri", 14}],
z = (x + I y);
Style[
 Labeled[Show[
   StreamPlot[{Re[f], Im[f]}, {x, -range, range}, {y, -range, 
     range}, PlotRange -> range, AspectRatio -> Automatic, 
    ImageSize -> 300, StreamPoints -> Fine, 
    StreamColorFunction -> (Hue[2 ArcTan[#5]/Pi + 0.6] &), 
    StreamColorFunctionScaling -> False], 
   ListPlot[{Transpose[{Re[r], Im[r]}], 
     Transpose[{Re[c], Im[c]}]}, Axes -> False, 
    PlotRange -> {{-range, range}, {-range, range}}, 
    AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> Full, 
    PlotStyle -> {Directive[Red, PointSize[Large]], 
      Directive[Gray, PointSize[Large]]}]], 
  Row[{" ", "Stream Plot of ", f // TraditionalForm, " "}], Top], 
 Gray, FontFamily -> {"Calibri", 14}],
Clear[z, c, r]
}, Center, Background -> Black];

Ah, y para los que les gusta este enfoque sobre el convencional Coloración del dominio podría estar interesado en las parcelas Pólya como se discute aquí: https://mathematica.stackexchange.com/questions/4244/visualizing-a-complex-vector-field-near-poles

Answer 2

He aquí otro enfoque para visualizar los ceros de una función compleja $f(z)$ . La idea es trazar diagramas de contorno de las partes real e imaginaria de $f(x+iy)$ . Los puntos de intersección de los contornos cero son exactamente las raíces de $f$ . Además, los diagramas suelen tener un aspecto bastante atractivo, ya que los contornos reales e imaginarios se encuentran en ángulos rectos.

Como ejemplo sencillo, considere $f(z)=z^2-1$ para que $$f(x+iy) = x^2-y^2-1 + 2xy\,i.$$ Ahora, los contornos de la parte real $u(x,y)=x^2-y^2-1$ son las hipérbolas azules de abajo y los contornos de la parte imaginaria son las hipérbolas doradas. Los contornos del cero están en negrita y vemos que los contornos del cero real e imaginario se cruzan en los puntos $\pm1$ que son, por supuesto, las raíces de $f$ .

He aquí algunos ejemplos más.

Observa también que puedes ver la multiplicidad de la raíz contando el número de intersecciones. Por ejemplo, $f(z)=z^2(z-1)^3$ tiene una raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3.

Answer 3

Si $f$ es un polinomio y $z\in\mathbb{C}$ entonces $f(z)$ también vive en $\mathbb{C}$ por lo que no podemos trazar realmente $f$ porque necesitamos cuatro dimensiones (2 para el dominio y 2 para la imagen).

Pero escoge $z=a+b\,i$ fijar $b$ y variemos $a$ y trazar la norma de $f(a+b\,i)$ que es un número real. Obsérvese que si cambiamos $b$ entonces obtenemos otra curva. En realidad, ¡tenemos un continuo de estas curvas! La FTA dice que al menos un de estas curvas (¡y tenemos muchas!) cruza el cero.

Nota: la norma en $\mathbb{C}$ es $f(z)=x+i\,y$ entonces $|f(z)|=\sqrt{x^2+y^2}$

Answer 4

El contenido del teorema fundamental del álgebra es que los polinomios constantes $p: \Bbb C \to \Bbb C$ son suryentes. Por el algoritmo de la división sabemos que un polinomio de grado $n$ tiene $n$ raíces contando la multiplicidad. Así, me gusta pensar en los polinomios como mapas de cobertura. Un polinomio $p$ define una ramificación $n$ -cubierta del plano complejo por sí mismo. Es decir, para cada $c$ Hay $n$ puntos $z$ tal que $f(z)=c$ , contado con multiplicidad. La única vez que tenemos multiplicidad es cuando $f(z)-c$ tiene raíces repetidas, lo que ocurre cuando $(f(z)-c)$ y $(f(z)-c)'=f'(z)$ comparten una raíz. Así ocurre en las raíces de $f'(z)$ de los cuales hay como máximo $n-1$ . Así, los polinomios definen una cubierta ramificada de $\Bbb C$ por sí mismo ramificado en un conjunto de a lo sumo $n-1$ puntos.

Answer 5

Vea estos:

• Funciones visuales complejas por Wegert.

• Diagramas de fase de funciones complejas: Un viaje en la ilustración por Wegert y Semmler.

• El Teorema Fundamental del Álgebra: Un enfoque visual por Velleman.

Pruebe una demostración interactiva en http://www.math.osu.edu/~fowler.291/phase/ .