Generalizando la función Omega grande de dominios integrales

Question

El $\Omega(n)$ función cuenta el número total de los factores primos de a $n$ contando multiplicidad. Obviamente, esta definición se extiende a una Única Factorización de Dominio.

Tengo dos preguntas:

1. Es posible extender la definición general Integral de los Dominios? Para que este sentido tendríamos que diferentes factores como elementos irreductibles siempre tienen el mismo número de irreducibles. Por ejemplo, en $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ el número de $6$ factores como el tanto $2*3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$. Sin embargo, como ambos factorizations son exactamente $2$ elementos irreductibles, parece que podríamos definir $\Omega(6)=2$. Hay un ejemplo de un elemento en esta Integral Dominio con dos factorizations a un número diferente de irreducibles?

2. Hay un ejemplo de un Integrante del Dominio que no es una Única Factorización de Dominio, sino que todos factorizations de el mismo número de acuerdo sobre el número de irreducibles?

Answer 1

Como mi comentario anterior muestra, la forma natural de la generalización de un arbitrario integral de dominio no funciona. Sin embargo, Carlitz demostrado los siguientes útil teorema:

Teorema (Carlitz, 1960) Deje $\mathcal{O}_K$ denotar el anillo de los números enteros en un campo de número de $K$. A continuación, el número de clase de $K$ es en la mayoría de los dos si y sólo si para cada a $\alpha \in \mathcal{O}_K$, el número de irreducibles en cada factorización de $\alpha$ sólo depende de $\alpha$ ($\Omega(\alpha)$estaría bien definidos).

Véase L. Carlitz, Una caracterización algebraica de los campos de número de la clase número dos, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 11 (1960), 391-392, MR0111741, disponible aquí.

Para volver al ejemplo de la pregunta, $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ es el anillo de enteros de $\mathbf{Q}(\sqrt{-5})$ $\mathbf{Q}(\sqrt{-5})$ número de clase 2, por lo que razonablemente podría definir $\Omega$ en la forma natural en $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$. En particular, el anillo de los números enteros en cualquier campo con número de clase exactamente 2 iba a dar un ejemplo de el tipo de anillo que usted está buscando en su segunda pregunta.